0220-2025 东新复 机械 P152

力学 多自由度振动 抛体运动 刚体动力学 科里奥利力

以下の問に答えよ．重力加速度を定数 $g(>0)$ とする．解のみ示せ．

(問 1) 原子Bが2つの原子Aに挟まれた，直線状の分子ABAを，2本のばね定数 $k$ の質量のないばねで結ばれた3質点系と考える．原子Aの質量を $m$，原子Bの質量を $M$ とする．原子は共通の直線上を運動するとし，重力の影響は無視できるものとする．
(1) 3つの原子が従う運動方程式をそれぞれ書け．ばねが自然長のときの位置を基準とする原子A, B, Aの変位を，一方の原子Aから他方の原子Aに向かう方向を正として，それぞれ，$x,y,z$ とする．
(2) 変数 $Q_1=x+z$, $Q_2=x-z$ を導入し，それぞれの振動の角周波数 ${\omega }_1,{\omega }_2$ を求めよ．分子の重心は動かないとする．

(問 2) 初速度 $v(\ne 0)$ で仰角 $\theta$ をなす方向に質点を投げる．質点の初期位置を原点とし，初速度の水平成分の正の向きに $x$ 軸をとり，鉛直上向きに $y$ 軸をとる．
(1) $x=X(>0)$ における質点の鉛直位置 $y$ を $X,g,\theta ,v$ を用いて表せ．
(2) $x=X(>0)$ において，いかなる角 $\theta$ であっても質点が到達できない鉛直位置 $y$ の範囲を $X,g,v$ を用いて表せ．

(問 3) 水平な摩擦のない台の上に，質量 $m$，半径 $r$ の密度一様な剛体球が静止している．下図のように球を棒で水平方向に突き，球が滑らないように転がしたい．球を突く中心からの鉛直位置 $h$ を $m,r,$ 及び球の慣性モーメント $I$ を用いて表せ．

(問 4) 地球を，南極と北極を結ぶ軸について東回りに一定の角速度 $\omega$ で回転する剛体球とする．北半球上の緯度 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ の点Pを原点として地表面に固定された座標系を $(x,y,z)$ とし，地球中心から点Pの方向を $z$ 軸の正の向き，点Pにおける接平面上で南を $x$ 軸の正の向き，東を $y$ 軸の正の向きとする．点Pにおいて，$z$ 軸の正の方向に初速度 $v$ で質量 $m$ の質点を投げる．
(1) 座標系 $(x,y,z)$ における地球の角速度ベクトル $\mathbf{\omega }$ の $x,y,z$ 成分をそれぞれ書け．
(2) 座標系 $(x,y,z)$ における質点の運動方程式は，位置ベクトル $\mathbf{r}$，その時間についての一階微分 $\dot{\mathbf{r}}$，二階微分 $\ddot{\mathbf{r}}$ を用いて下記のように表せる．

$$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}+2m\dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{\omega }$$
$$\mathbf{F}=(0,0,-mg)$$
質点を投げたあとの経過時間 $t$ における $y$ 方向の質点の加速度を，$g,t,v,\omega ,\theta$ を用いて書け．${\omega }^2$ 以上のオーダーの項は無視せよ．

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解答：

(問1)
(1) 原子A, B, Aがこの順に並んでおり，変位がそれぞれ $x,y,z$ であるとする．左側のばねの伸びは $y-x$，右側のばねの伸びは $z-y$ である．フックの法則より，各質点に対する運動方程式は以下のようになる．

$$\boxed{\begin{array}{rl}m\ddot{x}& =k(y-x)\\ M\ddot{y}& =-k(y-x)+k(z-y)=k(x-2y+z)\\ m\ddot{z}& =-k(z-y)=k(y-z)\end{array}}$$

(2) 第1式と第3式の和と差をそれぞれ計算する．
和：$m(\ddot{x}+\ddot{z})=k(2y-(x+z))⟹m{\ddot{Q}}_1=k(2y-Q_1)$
重心が動かない条件より $mx+My+mz=0⟹m(x+z)+My=0⟹y=-\frac{m}{M}{Q}_1$
これを代入して整理する．

$$m{\ddot{Q}}_1=k\left(-\frac{2m}{M}{Q}_1-Q_1\right)=-k\left(\frac{M+2m}{M}\right)Q_1$$

$$⟹{\ddot{Q}}_1=-\frac{k(M+2m)}{mM}{Q}_1$$

差：

$$m(\ddot{x}-\ddot{z})=-k(x-z)⟹m{\ddot{Q}}_2=-k{Q}_2$$
したがって，角周波数 ${\omega }_1,{\omega }_2$ は以下のようになる．
$$\boxed{\begin{array}{rl}{\omega }_1& =\sqrt{\frac{k(M+2m)}{mM}}\\ {\omega }_2& =\sqrt{\frac{k}{m}}\end{array}}$$

(問2)
(1) 質点の座標は時間 $t$ を用いて $x=(v\cos \theta )t,y=(v\sin \theta )t-\frac{1}{2}g{t}^2$ と表される．$x=X$ のとき $t=\frac{X}{v\cos \theta }$ となり，これを $y$ の式に代入する．

$$y=v\sin \theta \left(\frac{X}{v\cos \theta }\right)-\frac{1}{2}g{\left(\frac{X}{v\cos \theta }\right)}^2=X\tan \theta -\frac{g{X}^2}{2v^2{\cos }^2\theta }$$
$$\boxed{y=X\tan \theta -\frac{g{X}^2}{2v^2{\cos }^2\theta }}$$

(2) $\frac{1}{{\cos }^2\theta }=1+{\tan }^2\theta$ を用い，$\alpha =\tan \theta$ とおくと，軌道方程式は $\alpha$ についての2次方程式となる．

$$\frac{g{X}^2}{2v^2}{\alpha }^2-X\alpha +\left(y+\frac{g{X}^2}{2v^2}\right)=0$$
任意の実数 $\alpha$ に対して質点が到達可能であるための条件は，この方程式の判別式 $D\ge 0$ である．
$$D=X^2-4\cdot \frac{g{X}^2}{2v^2}\left(y+\frac{g{X}^2}{2v^2}\right)\ge 0⟹1-\frac{2g}{v^2}\left(y+\frac{g{X}^2}{2v^2}\right)\ge 0⟹y\le \frac{v^2}{2g}-\frac{g{X}^2}{2v^2}$$
したがって，到達できない領域はその補集合である．
$$\boxed{y>\frac{v^2}{2g}-\frac{g{X}^2}{2v^2}}$$

(問3)
球に加えられた力積を $P$ とする．重心の並進運動と重心周りの回転運動における力積と運動量・角運動量の関係式は以下の通り．

$$P=m{v}_0,Ph=I{\omega }_0$$
打撃直後に滑らずに転がるための条件は $v_0=r{\omega }_0$ である．これを代入して整理する．
$$\frac{P}{m}=r\left(\frac{Ph}{I}\right)⟹\frac{1}{m}=\frac{rh}{I}$$
$$\boxed{h=\frac{I}{mr}}$$

(問4)
(1) 地球の自転角速度ベクトル $\mathbf{\omega }$ は，南から北に向かう地球の自転軸と平行であり，その大きさは $\omega$ である．$x$ 軸は南向き（自転軸の水平成分の逆），$z$ 軸は天頂（鉛直上向き）であるため，緯度 $\theta$ における成分は以下のようになる．

$$\boxed{\mathbf{\omega }=(-\omega \cos \theta ,0,\omega \sin \theta )}$$

(2) 非摂動運動（$\omega =0$）での質点の速度は ${\dot{\mathbf{r}}}_0=(0,0,v-gt)$ である．
${\omega }^2$ 以上の項を無視する近似（1次摂動）では，コリオリ力 $2m\dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{\omega }$ は $\dot{\mathbf{r}}\approx {\dot{\mathbf{r}}}_0$ として計算できる．

$$({\dot{\mathbf{r}}}_0\times \mathbf{\omega }{)}_y={\dot{z}}_0{\omega }_x-{\dot{x}}_0{\omega }_z=(v-gt)(-\omega \cos \theta )-0\cdot (\omega \sin \theta )=-\omega (v-gt)\cos \theta$$
したがって，$y$ 方向の加速度 $\ddot{y}$ は
$$\ddot{y}=\frac{1}{m}(\mathbf{F}+2m{\dot{\mathbf{r}}}_0\times \mathbf{\omega }{)}_y=0+2(-\omega (v-gt)\cos \theta )$$
$$\boxed{\ddot{y}=-2\omega (v-gt)\cos \theta }$$

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在多自由度振动问题中，由于系统不受外力，质心动量守恒，引入质心坐标与相对位移作为广义坐标，可以实现运动方程的解耦并直接得到系统的固有简正频率（对称振动与反对称振动模式）。抛体运动的包络面（安全抛物面）通过将轨迹方程视为关于抛射角正切值的一元二次方程，利用判别式大于等于零即可直接求出边界。刚体的瞬时打击问题依靠力学冲量与角动量定理，结合纯滚动条件可以求出最佳的击打高度（甜点）。引入科里奥利力时，若仅保留角速度的线性项，可以直接将无自转时的零阶抛体速度代入叉乘计算，体现了摄动法在局部参考系下处理微小附加惯性力的基本思想。