0218-2025 东新复 数学 P150

线性代数 特征值与特征向量 矩阵指数函数 双正交性

行列とベクトルの転置は上付き記号 $\top$ によって表す．また正方行列 $J$ に対して，その指数関数は

$${\mathrm{e}}^J=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{J}^k$$
によって定義される．以下の問に答えよ．

(問 1) 次の実行列 $A$ と実ベクトル $\mathbf{b},\mathbf{c}$ を考える．

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \beta \end{array}\right),\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$$
ただし，$\beta$ は定数である．導出を省略し，答えのみを示せ．
(1) $A$ の固有値 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le {\lambda }_3$ を求めよ．
(2) 次式を満たす行列 $P$ を求めよ．
$$P^{\top }AP=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right)$$
(3) 変数 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3$ に関する方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ が解を持つとする．$\beta$ の値を求めよ．また，この方程式の解をすべて求めよ．
(4) $\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-At}\mathbf{c}$ を求めよ．ただし $t$ は実数である．

(問 2) $B$ を $n\times n$ の実非対称行列とする．
(1) $B$ と $B^{\top }$ の固有値が一致することを示せ．ある正方行列とその転置行列の行列式が一致することは既知の事実として利用してよい．
(2) $B$ の固有値を ${\lambda }_i(i=1,\dots ,n)$ とする．また固有値 ${\lambda }_i$ に対応する $B$ と $B^{\top }$ の固有ベクトルを，それぞれ，${\mathbf{u}}_i$ と ${\mathbf{v}}_i$ とする．すなわち，

$$\begin{array}{rl}B{\mathbf{u}}_i& ={\lambda }_i{\mathbf{u}}_i\\ B^{\top }{\mathbf{v}}_i& ={\lambda }_i{\mathbf{v}}_i\end{array}$$
が成立する．${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ に対して，${\mathbf{v}}_j^{\top }{\mathbf{u}}_i=0$ となることを示せ．

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解答：

(問1)
(1) $A$ の固有多項式を解く．

$$|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 1& 1\\ 1& \lambda -2& 1\\ 1& 1& \lambda -2\end{array}\right|=\lambda (\lambda -3{)}^2=0$$
$$\boxed{{\lambda }_1=0,{\lambda }_2=3,{\lambda }_3=3}$$

(2) 各固有値に対する固有空間の正規直交基底を求める．
${\lambda }_1=0$ のとき，$A\mathbf{x}=0$ より固有ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^{\top }$．
${\lambda }_2={\lambda }_3=3$ のとき，$(A-3I)\mathbf{x}=0$ すなわち $x_1+x_2+x_3=0$ より，直交する固有ベクトルの組として $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0{)}^{\top },\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2{)}^{\top }$ を選べる．
これらを列ベクトルとして並べる．

$$\boxed{P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& -\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)}$$

(3) 拡大係数行列に行基本変形を行う．

$$\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& -1& |& 1\\ -1& 2& -1& |& 1\\ -1& -1& 2& |& \beta \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& |& -\beta \\ 0& 3& -3& |& 1-\beta \\ 0& 0& 0& |& 2+\beta \end{array}\right)$$
解が存在するための条件は $2+\beta =0$．方程式を解いて一般解を得る．
$$\boxed{\begin{array}{rl}\beta & =-2\\ \mathbf{x}& =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)(t\text{ は任意の定数})\end{array}}$$

(4) $A$ のスペクトル分解 $A=0\cdot P_1+3\cdot P_2$ を用いる．ここで $P_1=\frac{1}{3}11^{\top }$（$1=(1,1,1{)}^{\top }$）である．

$${\mathrm{e}}^{-At}={\mathrm{e}}^0{P}_1+{\mathrm{e}}^{-3t}{P}_2=P_1+{\mathrm{e}}^{-3t}{P}_2$$
$t\to \infty$ の極限をとり，$\mathbf{c}$ に作用させる．
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-At}\mathbf{c}=P_1\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$$
$$\boxed{\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$$

(問2)
(1) 任意の正方行列とその転置行列の行列式が等しいという性質を用いる．

$$|B^{\top }-\lambda I|=|(B-\lambda I{)}^{\top }|=|B-\lambda I|$$
固有多項式が完全に一致するため，その根である固有値も一致する．(証明終)

(2) $B{\mathbf{u}}_i={\lambda }_i{\mathbf{u}}_i$ の両辺に左から ${\mathbf{v}}_j^{\top }$ を乗じる．

$${\mathbf{v}}_j^{\top }B{\mathbf{u}}_i={\lambda }_i{\mathbf{v}}_j^{\top }{\mathbf{u}}_i\cdots (a)$$
また，$B^{\top }{\mathbf{v}}_j={\lambda }_j{\mathbf{v}}_j$ の両辺の転置をとる．
$${\mathbf{v}}_j^{\top }B={\lambda }_j{\mathbf{v}}_j^{\top }$$
この両辺に右から ${\mathbf{u}}_i$ を乗じる．
$${\mathbf{v}}_j^{\top }B{\mathbf{u}}_i={\lambda }_j{\mathbf{v}}_j^{\top }{\mathbf{u}}_i\cdots (b)$$
(a) と (b) の左辺は等しいため，右辺同士も等しくなる．
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_i{\mathbf{v}}_j^{\top }{\mathbf{u}}_i& ={\lambda }_j{\mathbf{v}}_j^{\top }{\mathbf{u}}_i\\ ({\lambda }_i-{\lambda }_j){\mathbf{v}}_j^{\top }{\mathbf{u}}_i& =0\end{array}$$
仮定より ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ であるから ${\lambda }_i-{\lambda }_j\ne 0$ となり，したがって ${\mathbf{v}}_j^{\top }{\mathbf{u}}_i=0$ が成立する．(証明終)

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求解实对称矩阵的指数函数极限时可以有效利用谱分解（投影矩阵的线性组合）。因为正交矩阵对角化等价于特征空间的直交投影，时间趋于无穷时对应正特征值的项会衰减为零，最后只保留对应零特征值的稳态投影部分。对于非对称矩阵，它的左特征向量和右特征向量往往不同，但是对应于不同特征值的左右特征向量之间满足双正交性，这是现代控制理论和非厄米量子力学中的基本性质，常用于解耦和系统降维。