0217-2025 东新复 数学 P149

微分积分 常微分方程 多元函数极值 旋转体体积

以下の問に答えよ．e は自然対数の底，i は虚数単位である．
導出の過程を省略し，答えのみを示せ．

(問1) 実関数 $f(x)$ を以下のように定義する．

$$f(x)={\int }_0^x\mathrm{d}t{\mathrm{e}}^{-t^2}$$
(1) $f(x)$ の導関数を求めよ．
(2) $f(x)$ の $x=0$ まわりの3次までのテイラー展開を求めよ．

(問2) 2つの実関数 $x(t),y(t)$ が以下の連立微分方程式を満たすとする．

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\nu x-y+A\cos at$$
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\nu y+x+A\sin at$$
ここで，$A,a,\nu (\nu >0)$ は実定数である．
(1) $z(t)=x(t)+\mathrm{i}y(t)$ とおくとき，$z(t)$ の満たす微分方程式を求めよ．
(2) $A=0$ のとき，$x(t),y(t)$ の連立微分方程式の一般解を求めよ．
(3) $A>0$ のとき，$t\to \infty$ で $x(t)$ は初期条件に関わらず $x_1(t)=B\cos (bt+\varphi )$ に漸近する．ここで，$B(B>0),b,\varphi$ は実定数である．$B,b,\varphi$ を求めよ．

(問3) 実関数 $f(x)$ を以下のように定義する．

$$f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$$
(1) $f(x)$ の全ての極値と，それに対する $x$ の値を求めよ．
(2) $xy$ 直交座標系において，$0\le y\le f(x)$ かつ $x>0$ である領域の面積を求めよ．
(3) $xyz$ 直交座標系において，$xy$ 平面上で定義される (2) の領域を $x$ 軸まわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4) (3)の立体表面は，実関数
$$g(x,y,z)=y^2+z^2-x^2{\mathrm{e}}^{-2x}$$
を用いて，$g(x,y,z)=0$ と表される．$g(x,y,z)$ の勾配ベクトルを求めよ．
(5) (3)の立体表面の $x>0$ の領域において，$h(x,y,z)=xyz$ が最大となる座標 $(x,y,z)$ と，そのときの最大値を求めよ．

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解答：
(問1)
(1) 微分積分学の基本定理より導関数を計算する．

$$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-x^2}$$
$$\boxed{f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}}$$
(2) 指数関数のマクローリン展開を利用して被積分関数を展開する．
$${\mathrm{e}}^{-t^2}=1-t^2+\frac{1}{2}{t}^4-\cdots$$
これを項別積分することにより，3次までの展開を得る．
$$f(x)={\int }_0^x\left(1-t^2+O(t^4)\right)\mathrm{d}t=x-\frac{1}{3}{x}^3+O(x^5)$$
$$\boxed{x-\frac{1}{3}{x}^3}$$

(問2)
(1) 与えられた方程式の両辺をそれぞれ足し合わせる．

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=(-\nu x-y+A\cos at)+\mathrm{i}(-\nu y+x+A\sin at)$$
これを $z=x+\mathrm{i}y$ について整理し，オイラーの公式を適用する．
$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=-\nu (x+\mathrm{i}y)+\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)+A(\cos at+\mathrm{i}\sin at)=(-\nu +\mathrm{i})z+A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}at}$$
$$\boxed{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=(-\nu +\mathrm{i})z+A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}at}}$$
(2) $A=0$ のとき，方程式は $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=(-\nu +\mathrm{i})z$ となる．
これを解くと，複素定数 $C=C_1+\mathrm{i}{C}_2$ を用いて次のように表される．
$$z(t)=C{\mathrm{e}}^{(-\nu +\mathrm{i})t}=(C_1+\mathrm{i}{C}_2){\mathrm{e}}^{-\nu t}(\cos t+\mathrm{i}\sin t)$$
実部と虚部を比較することで一般解を得る．
$$\boxed{\begin{array}{rl}x(t)& ={\mathrm{e}}^{-\nu t}(C_1\cos t-C_2\sin t)\\ y(t)& ={\mathrm{e}}^{-\nu t}(C_1\sin t+C_2\cos t)\end{array}(C_1,C_2\text{は任意の実定数})}$$
(3) 非同次方程式の特解を $z_p(t)=K{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}at}$ とおいて代入する．
$$\mathrm{i}aK{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}at}=(-\nu +\mathrm{i})K{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}at}+A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}at}⟹K=\frac{A}{\nu +\mathrm{i}(a-1)}$$
$t\to \infty$ のとき，$\nu >0$ であるため同次解の部分は $0$ に収束し，解は特解に漸近する．
$$z(t)\to \frac{A(\nu -\mathrm{i}(a-1))}{{\nu }^2+(a-1{)}^2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}at}=\frac{A}{\sqrt{{\nu }^2+(a-1{)}^2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(at+\varphi )}$$
ただし，$\cos \varphi =\frac{\nu }{\sqrt{{\nu }^2+(a-1{)}^2}}$，$\sin \varphi =-\frac{a-1}{\sqrt{{\nu }^2+(a-1{)}^2}}$ より $\varphi =-\arctan \left(\frac{a-1}{\nu }\right)$ である．
実部をとることで $x(t)$ の漸近形が得られる．
$$\boxed{\begin{array}{rl}B& =\frac{A}{\sqrt{{\nu }^2+(a-1{)}^2}}\\ b& =a\\ \varphi & =-\arctan \left(\frac{a-1}{\nu }\right)\end{array}}$$

(問3)
(1) 導関数を求め，符号の変化を調べる．

$$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}-x{\mathrm{e}}^{-x}=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}$$
$x=1$ で $f^{\prime }(x)=0$ となり，その前後で正から負へ変化するため極大となる．
$$\boxed{\text{極大値 }{\mathrm{e}}^{-1}(x=1)}$$
(2) 広義積分により面積を計算する．部分積分法を用いる．
$$S={\int }_0^{\infty }x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x={\left[-x{\mathrm{e}}^{-x}\right]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$$
$$\boxed{1}$$
(3) 回転体の体積公式を適用し，再度部分積分法を用いる．
$$V=\pi {\int }_0^{\infty }(x{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^{\infty }{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$$
$$\int x^2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}+\int x{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}-\frac{1}{2}x{\mathrm{e}}^{-2x}-\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{-2x}$$
$$V=\pi {\left[-\frac{2x^2+2x+1}{4}{\mathrm{e}}^{-2x}\right]}_0^{\infty }=\frac{\pi }{4}$$
$$\boxed{\frac{\pi }{4}}$$
(4) 各変数についての偏微分を計算して勾配ベクトルを構成する．
$$\nabla g=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)=(-2x{\mathrm{e}}^{-2x}+2x^2{\mathrm{e}}^{-2x},2y,2z)$$
$$\boxed{\left(2x(x-1){\mathrm{e}}^{-2x},2y,2z\right)}$$
(5) $x>0$ より $h(x,y,z)$ が最大となるためには $y>0,z>0$ である必要がある．
条件 $g(x,y,z)=0$ より $y^2+z^2=x^2{\mathrm{e}}^{-2x}$ であり，相加平均と相乗平均の関係から
$$yz\le \frac{y^2+z^2}{2}=\frac{1}{2}{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}$$
等号は $y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}x{\mathrm{e}}^{-x}$ のときに成立し，このとき $h=\frac{1}{2}{x}^3{\mathrm{e}}^{-2x}$ となる．
これを $H(x)$ とおいて微分する．
$$H^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(3x^2{\mathrm{e}}^{-2x}-2x^3{\mathrm{e}}^{-2x})=\frac{1}{2}{x}^2(3-2x){\mathrm{e}}^{-2x}$$
$H^{\prime }(x)=0$ を解くと $x=\frac{3}{2}$ となり，ここで $H(x)$ は最大となる．最大値とその座標を計算する．
$$y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{2}{\mathrm{e}}^{-3/2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}{\mathrm{e}}^{-3/2}$$
$$H\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^3{\mathrm{e}}^{-3}=\frac{27}{16}{\mathrm{e}}^{-3}$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}\text{最大値: }& \frac{27}{16}{\mathrm{e}}^{-3}\\ \text{座標: }& \left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{2}}{4}{\mathrm{e}}^{-3/2},\frac{3\sqrt{2}}{4}{\mathrm{e}}^{-3/2}\right)\end{array}}$$

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通过引入复变量处理线性常微分方程组是一种极为高效的方法，将原本存在耦合关系的方程组转化为一个单一的复变量微分方程，可以直接借用一阶线性微分方程的求解技巧提取通解并求特解，最终分离实部与虚部即可还原为原方程组的解。另外在求解多元函数的条件极值时，利用几何上的对称性或者经典的不等式放缩（如基本不等式）能够迅速将多变量的极值问题降维化简为一个单变量函数的求导极值问题，避免了构造拉格朗日函数计算可能带来的繁杂方程组求解过程。