0216-2024 东新复 数学 P147

概率统计 多元正态分布 条件分布 卡方分布 矩母函数 区间估计

(問 1) 確率変数 $X$ は 平均 $0$, 分散 $1$ の正規分布に従うとする. また, $X=x$ が与えられたときの確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数 $f_{Y|X}(y|x)$ を平均 $ax$, 分散 ${\sigma }^2$ の正規分布とする. ただし, $a$ は実数である. 以下の問に答えよ.
導出の過程を省き, 答えのみ示すこと.

(1) $X,Y$ の同時確率密度関数 $f_{X,Y}(x,y)$ を求めよ.
(2) $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を求めよ.
(3) $Y=y$ が与えられたときの $X$ の条件付き確率密度関数 $f_{X|Y}(x|y)$ を求めよ.

(問 2) $n$ 個の確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立であり, 平均 $0$, 分散 $1$ の同一の正規分布に従うとする. $d,u$ は実数, $c,\alpha$ は正の実数であるとする. 以下の問に答えよ.
(1), (2), (3), (5) については, 導出の過程を省き, 答えのみ示せ.
(4) については, 答えに加えて導出の過程も示せ.

(1) 確率変数 $Y=c{X}_1+d$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を求めよ.
(2) 確率変数 $Z=(X_1{)}^2$ の確率密度関数 $f_Z(z)$ を求めよ.
(3) $Z$ の期待値 $E[Z]$, 分散 $V[Z]$, モーメント母関数 $M_Z(t)=E[e^{tZ}]$ を求めよ. ここで $t$ は実数であり, $t<\frac{1}{2}$ を満たす.
必要に応じて公式 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ を用いてよい. ただし,

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{u}^{\alpha -1}{e}^{-u}du$$

はガンマ関数であり, $e$ は自然対数の底である.
(4) 確率変数 $S=\sum _{i=1}^n(X_i{)}^2$ の確率密度関数 $f_S(s)$ を, $f_S(s)$ はガンマ分布 $g_{k,\beta }(s)=\frac{{\beta }^k}{\Gamma (k)}{s}^{k-1}{e}^{-\beta s}(s\ge 0)$ であると仮定し, 正の定数 $k,\beta$ を決定することにより求めよ.
(5) $W_1,W_2,\dots ,W_n$ は平均 $\mu$, 分散 ${\sigma }^2$ の正規分布からの無作為標本とする. 平均 $\mu$ を既知として, 標本 $(W_1,W_2,\dots ,W_n)$ から分散 ${\sigma }^2$ の $95\%$ 信頼区間を計算する方法を説明せよ.

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解答：

(問 1)
(1)
与えられた条件より，

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)\\ f_{Y|X}(y|x)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(y-ax{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)\end{array}$$

同時確率密度関数は $f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)$ であり，

$$\begin{array}{rl}{f}_{X,Y}(x,y)& =\frac{1}{2\pi \sigma }\exp \left(-\frac{x^2}{2}-\frac{(y-ax{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)\\ & =\frac{1}{2\pi \sigma }\exp \left(-\frac{({\sigma }^2+a^2)x^2-2axy+y^2}{2{\sigma }^2}\right)\end{array}$$ $$\boxed{f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma }\exp \left(-\frac{({\sigma }^2+a^2)x^2-2axy+y^2}{2{\sigma }^2}\right)}$$

(2)
$X,Y$ の指数部を $x$ について平方完成すると，

$$\begin{array}{rl}{f}_{X,Y}(x,y)& =\frac{1}{2\pi \sigma }\exp \left(-\frac{{\sigma }^2+a^2}{2{\sigma }^2}{\left(x-\frac{ay}{{\sigma }^2+a^2}\right)}^2-\frac{y^2}{2({\sigma }^2+a^2)}\right)\end{array}$$

これを $x$ について周辺化積分することで $f_Y(y)$ を得る.

$$\boxed{f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }^2+a^2)}}\exp \left(-\frac{y^2}{2({\sigma }^2+a^2)}\right)}$$

(3)
ベイズの定理 $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$ より，

$$\boxed{f_{X|Y}(x|y)=\sqrt{\frac{{\sigma }^2+a^2}{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{{\sigma }^2+a^2}{2{\sigma }^2}{\left(x-\frac{ay}{{\sigma }^2+a^2}\right)}^2\right)}$$

(問 2)
(1)
$X_1\sim N(0,1)$ であり，$Y=c{X}_1+d$ ($c>0$) は正規分布に従う. $E[Y]=d$, $V[Y]=c^2$ より，

$$\boxed{f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }c}\exp \left(-\frac{(y-d{)}^2}{2c^2}\right)}$$

(2)
$z>0$ のとき，累積分布関数は $F_Z(z)=P(X_1^2\le z)=P(-\sqrt{z}\le X_1\le \sqrt{z})=2\Phi (\sqrt{z})-1$ である（$\Phi$ は標準正規分布の累積分布関数）．これを微分して，

$$\boxed{f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi z}}\exp \left(-\frac{z}{2}\right)& (z>0)\\ 0& (z\le 0)\end{array}}$$

(3)

$$\begin{array}{rl}E[Z]& =E[X_1^2]=1\\ V[Z]& =E[X_1^4]-(E[X_1^2]{)}^2=3-1=2\\ M_Z(t)& =E[\exp (tZ)]={\int }_0^{\infty }{e}^{tz}\frac{1}{\sqrt{2\pi z}}{e}^{-z/2}dz={\int }_0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi z}}{e}^{-z(1/2-t)}dz\end{array}$$

$u=z(1/2-t)$ と置換すると $M_Z(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi (1/2-t)}}{\int }_0^{\infty }{u}^{-1/2}{e}^{-u}du=\frac{\Gamma (1/2)}{\sqrt{\pi (1-2t)}}=(1-2t{)}^{-1/2}$．

$$\boxed{E[Z]=1,V[Z]=2,M_Z(t)=(1-2t{)}^{-1/2}}$$

(4)
確率変数の和のモーメント母関数は，各々のモーメント母関数の積となるため，

$$M_S(t)=\prod _{i=1}^n{M}_{Z_i}(t)={\left((1-2t{)}^{-1/2}\right)}^n=(1-2t{)}^{-n/2}$$

一方，仮定されたガンマ分布 $g_{k,\beta }(s)$ のモーメント母関数は，

$$\begin{array}{rl}{M}_g(t)& ={\int }_0^{\infty }{e}^{ts}\frac{{\beta }^k}{\Gamma (k)}{s}^{k-1}{e}^{-\beta s}ds\\ & =\frac{{\beta }^k}{\Gamma (k)}{\int }_0^{\infty }{s}^{k-1}{e}^{-s(\beta -t)}ds\\ & =\frac{{\beta }^k}{\Gamma (k)}\frac{\Gamma (k)}{(\beta -t{)}^k}={\left(1-\frac{t}{\beta }\right)}^{-k}\end{array}$$

$M_S(t)=M_g(t)$ を比較して，

$$k=\frac{n}{2},\beta =\frac{1}{2}$$

したがって，

$$\boxed{\begin{array}{rl}k& =\frac{n}{2},\beta =\frac{1}{2}\\ f_S(s)& =\{\begin{array}{ll}\frac{(1/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{s}^{n/2-1}{e}^{-s/2}& (s\ge 0)\\ 0& (s<0)\end{array}\end{array}}$$

(証明終)

(5)
$\mu$ が既知であるため，確率変数 $W_i$ を標準化した $V_i=\frac{W_i-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ を用いる.
$V_i$ は互いに独立な標準正規分布に従うので，その二乗和は自由度 $n$ のカイ二乗分布（$k=n/2,\beta =1/2$ のガンマ分布に等しい）に従う.

$$T=\sum _{i=1}^n{V}_i^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{W_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

自由度 $n$ のカイ二乗分布の累積確率分布において，上側 $\alpha$ 点を ${\chi }_{n,\alpha }^2$ と表す.

$$P\left({\chi }_{n,0.975}^2\le \frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(W_i-\mu {)}^2\le {\chi }_{n,0.025}^2\right)=0.95$$

不等式を ${\sigma }^2$ について解き直すことで，以下の95%信頼区間を得る.

$$\boxed{\left[\frac{{\sum }_{i=1}^n(W_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{n,0.025}^2},\frac{{\sum }_{i=1}^n(W_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{n,0.975}^2}\right]}$$

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补充说明
本题考查了概率论与数理统计中几个非常核心的概念。问1主要涉及多元正态分布，利用条件概率密度的定义推导出联合分布，再通过配方完成关于其中一个变量的积分从而得到边缘分布，进而再次利用贝叶斯公式反推另一个方向的条件分布。这在处理高斯共轭模型时是经典的推导方法。问2从单一标准正态变量出发，通过变量代换引出卡方分布的密度函数，并计算其特征，特别是矩母函数。随后利用独立随机变量和的矩母函数等于矩母函数乘积的性质，巧妙地证明了正态平方和服从参数特定的伽马分布（即自由度为n的卡方分布）。最后结合前述推论给出方差的区间估计公式，核心在于母体均值已知时不需要用样本均值估计，因此统计量的自由度是n而不是n-1。在推导过程中合理利用伽马函数的积分定义进行代换计算可以大大简化步骤。