0214-2024 东新复 机械 P145

力学 运动学 牛顿定律 振动学 刚体平衡

以下の問いに答えよ．問1以外では重力加速度を$g(>0)$とする．

(問1) 初速度 $8\text{m/s}$ で鉛直上向きに投げ上げた質点が初期位置より $4\text{m}$ 低いところを通過するのは何秒後か答えよ．重力加速度を $10{\text{m/s}}^2$ とする．

(問2) 質量 $m$ の質点が力 $\mathbf{f}$ を受けて運動している．加速度 $\mathbf{a}$ で並進運動する座標系における，この質点の運動方程式を書け．この座標系での質点の位置を $\mathbf{r}$，時刻を $t$ とする．

(問3) 質量 $m_1$ の質点1と質量 $m_2$ の質点2がばね定数 $k$ の質量の無いばねで結ばれ，摩擦のない水平面上に置かれている．
(1) 質点1，2を両側に引っ張って静かに手を離したあと，それぞれが従う運動方程式を書け．引っ張る前の位置からの質点1，2の変位を，質点1から質点2に向かう方向を正として，それぞれ $x_1$，$x_2$ とする．時刻を $t$ とする．
(2) (1)における振動の角周波数を答えよ．

(問4) 水平な台の上に質点が置かれており，この台が初期位置を振動の中心として角周波数 $\omega$，変位振幅 $A$ で鉛直方向に単振動を始める．振動開始時に台と質点は同じ上向き速度を持つとする．
(1) 質点が台から離れない条件を答えよ．
(2) 質点が台から離れる場合に，質点が離れるときの台の振動中心からの距離を答えよ．

(問5) 長さ $L$ の質量の無い糸の先端に質量 $m$ の質点を付けた単振り子を考える．鉛直下向きからの糸の傾き角を $\theta$，最下点での速度を $V$ とする．
(1) 糸の張力を $L$，$m$，$V$，$\theta$，$g$ を用いて表せ．
(2) $\theta =180^{\circ }$ でも糸がたるまない $V$ の条件を求めよ．

(問6) 下図のように，長さ $L$ で質量の無いまっすぐなはしごが，摩擦のない鉛直な壁と粗い水平な床との間に，水平方向となす角 $\theta$ で立てかけてある．はしごと床の間の静止摩擦係数は $\mu$ である．質量 $m$ の質点がはしごの下端から $x$ の距離にあるとき，はしごが滑り落ちない $x$ の範囲を求めよ．

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解答：

(問1)
鉛直上向きを正とする座標系をとる．時刻 $t$ における質点の変位 $y$ は，初速度 $v_0=8\text{m/s}$，重力加速度 $g=10{\text{m/s}}^2$ より，

$$y=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2=8t-5t^2$$

質点が初期位置より $4\text{m}$ 低いところを通過するとき，$y=-4\text{m}$ であるから，

$$-4=8t-5t^2$$

整理して解くと，

$$\begin{array}{rl}5t^2-8t-4& =0\\ (5t+2)(t-2)& =0\end{array}$$

$t>0$ であるため，$t=2$ となる．

$$\boxed{2\text{秒後}}$$

(問2)
加速度 $\mathbf{a}$ で並進運動する非慣性系において，質量 $m$ の質点には慣性力 $-m\mathbf{a}$ が働く．
したがって，位置ベクトル $\mathbf{r}$ についての運動方程式は以下のようになる．

$$\boxed{m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}=\mathbf{f}-m\mathbf{a}}$$

(問3)
(1)
質点1から質点2に向かう方向を正としているため，ばねの伸びは $x_2-x_1$ と表される．
質点1には正の方向へ弾性力 $k(x_2-x_1)$ が働き，質点2には負の方向へ弾性力 $-k(x_2-x_1)$ が働く．
よって，それぞれの運動方程式は以下のようになる．

$$\boxed{\begin{array}{rl}{m}_1\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}& =k(x_2-x_1)\\ m_2\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}& =-k(x_2-x_1)\end{array}}$$

(2)
(1)の2式より，相対変位 $x=x_2-x_1$ についての微分方程式を求める．

$$\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}-\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}=-\frac{k}{m_2}(x_2-x_1)-\frac{k}{m_1}(x_2-x_1)$$ $$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)x=-k\frac{m_1+m_2}{m_1{m}_2}x$$

これは単振動の式 $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }_n^{2}x$ の形をしており，角周波数 ${\omega }_n$ は次のように求まる．

$$\boxed{\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1{m}_2}}}$$

(問4)
(1)
台の鉛直上向きの変位を $y_t(t)$ とする．初期位置を振動の中心とし，初速度が正（上向き）であるため，

$$y_t(t)=A\sin (\omega t)$$

台の加速度は $\alpha (t)=-A{\omega }^2\sin (\omega t)$ となる．
質点には重力 $mg$ と台からの垂直抗力 $N$ が働き，台から離れない間は質点の加速度も $\alpha (t)$ に等しい．
質点の運動方程式は，

$$m\alpha (t)=N-mg$$ $$N=m(g+\alpha (t))=m(g-A{\omega }^2\sin (\omega t))$$

質点が台から離れない条件は，常に $N\ge 0$ であることである．
$\sin (\omega t)$ の最大値は $1$ であるから，$N$ の最小値は $m(g-A{\omega }^2)$ となる．

$$m(g-A{\omega }^2)\ge 0⟹A{\omega }^2\le g$$ $$\boxed{A{\omega }^2\le g}$$

(2)
質点が台から離れるのは，垂直抗力 $N$ が $0$ になるときである．

$$m(g-A{\omega }^2\sin (\omega t))=0⟹\sin (\omega t)=\frac{g}{A{\omega }^2}$$

このとき，台の振動中心からの距離 $y_t(t)$ は，

$$y_t(t)=A\sin (\omega t)=A\left(\frac{g}{A{\omega }^2}\right)=\frac{g}{{\omega }^2}$$ $$\boxed{\frac{g}{{\omega }^2}}$$

(問5)
(1)
最下点から傾き角 $\theta$ の位置までの高さの変化は $L(1-\cos \theta )$ である．
力学的エネルギー保存則より，角度 $\theta$ における質点の速度を $v$ とすると，

$$\frac{1}{2}m{V}^2=\frac{1}{2}m{v}^2+mgL(1-\cos \theta )$$ $$v^2=V^2-2gL(1-\cos \theta )$$

質点の半径方向の運動方程式について，中心に向かう方向を正とすると，張力を $T$ として，

$$m\frac{v^2}{L}=T-mg\cos \theta$$ $$\begin{array}{rl}T& =m\frac{v^2}{L}+mg\cos \theta \\ & =m\frac{V^2-2gL(1-\cos \theta )}{L}+mg\cos \theta \\ & =m\left(\frac{V^2}{L}-2g+2g\cos \theta +g\cos \theta \right)\\ & =m\left(\frac{V^2}{L}-2g+3g\cos \theta \right)\end{array}$$ $$\boxed{T=m\left(\frac{V^2}{L}-2g+3g\cos \theta \right)}$$

(2)
$\theta =180^{\circ }$ において糸がたるまない条件は，$T\ge 0$ である．
$\cos 180^{\circ }=-1$ を代入すると，

$$T=m\left(\frac{V^2}{L}-2g-3g\right)=m\left(\frac{V^2}{L}-5g\right)\ge 0$$ $$V^2\ge 5gL$$

$V>0$ より，

$$\boxed{V\ge \sqrt{5gL}}$$

(問6)
はしごが壁から受ける垂直抗力を $N_w$，床から受ける垂直抗力を $N_f$，床から受ける静止摩擦力を $f$ とする．
はしごは質量が無いため，鉛直方向と水平方向の力のつり合いは以下のようになる．

$$\begin{array}{rl}{N}_f-mg& =0⟹N_f=mg\\ N_w-f& =0⟹f=N_w\end{array}$$

はしごの下端のまわりの力のモーメントのつり合いを考える．反時計回りを正とすると，

$$N_{w}L\sin \theta -mgx\cos \theta =0$$ $$N_w=\frac{mgx\cos \theta }{L\sin \theta }=\frac{mgx}{L\tan \theta }$$

はしごが滑り落ちないための条件は，静止摩擦力 $f$ が最大静止摩擦力 $\mu N_f$ 以下であることである．

$$f\le \mu N_f$$

求めた $f=N_w$ と $N_f$ を代入すると，

$$\frac{mgx}{L\tan \theta }\le \mu mg$$ $$x\le \mu L\tan \theta$$

質点ははしご上にあるため $x\ge 0$ であるから，はしごが滑り落ちない $x$ の範囲は以下のようになる（ただし $x\le L$ を満たす範囲とする）．

$$\boxed{0\le x\le \mu L\tan \theta }$$

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这部分力学综合题涵盖了运动学基础、非惯性系动力学、双振子系统、简谐振动中的接触条件、圆周运动的临界条件以及刚体静力学平衡。第一问是一维等加速直线运动的直接应用；第二问考察了非惯性系下引入惯性力修正牛顿第二定律的基本写法；第三问中双质量弹簧系统是经典的系统相对运动问题，通过建立两者的坐标关系并作差可以转化为单变量的简谐振动方程并提取出折合质量的概念；第四问讨论了受迫振动下物体脱离接触面的临界条件，即二者相互作用的法向正压力降为零的时刻，代入简谐运动的加速度公式即可求解；第五问分析了竖直平面内的单摆运动，利用机械能守恒计算任意位置的速度后再沿径向列写动力学方程可解出绳子张力，最高点不松弛的条件是绳子张力非负；第六问是具有单一摩擦接触点的刚体平衡问题，通过平移和旋转的受力与力矩平衡方程可以解出各接触面的约束力，最后利用静摩擦力小于等于最大静摩擦力的条件给出位置变量的区间。