0211-2023 东新复 数学 P141

概率统计 连续均匀分布 条件概率密度 极大值分布 卷积

(問1) $X_1,X_2$ を互いに独立で，共に区間 $[0,1]$ 上の連続一様分布に従う確率変数とする．以下の問に答えよ．
導出の過程は省き，答えのみ記すこと．

(1) $X_1$ の期待値 $E[X_1]$ と分散 $V[X_1]$ を求めよ．
(2) $X$ を $X_1,X_2$ の最大値とする．確率 $\mathrm{Pr}\left(X\ge \frac{1}{3}\right)$ を求めよ．

(問2) $Y_1$ を区間 $[0,1]$ 上の連続一様分布に従う確率変数とする．$Y_2$ を $Y_1$ を条件とした以下の条件付き確率密度関数に従う確率変数とする．

$$f_{Y_2|Y_1}(y_2|y_1)=\frac{1}{2}{e}^{-|y_2-y_1|}(-\infty <y_2<\infty )$$

ここで，$|y_2-y_1|$ は $y_2-y_1$ の絶対値を，$e$ は自然対数の底を表す．以下の問に答えよ．導出の過程は省き，答えのみ記すこと．

(1) $Y_2$ の周辺確率密度関数 $f_{Y_2}(y_2)$ を求めよ．
(2) 確率 $\mathrm{Pr}(Y_2\ge 0)$ を求めよ．

(問3) $\{Z_1,Z_2,\dots ,Z_n\}$ を区間 $[0,\theta ]$ 上の連続一様分布からの大きさ $n$ の無作為標本とする．ここで，$\theta$ は正のパラメータである．$\hat{\theta }=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i$ を $\theta$ の推定量とする．以下の問に答えよ．
答えに加えて導出の過程も記すこと．

(1) $\hat{\theta }$ は $\theta$ の不偏推定量であることを示せ．
(2) $\hat{\theta }$ の分散 $V[\hat{\theta }]$ を求めよ．
(3) $n=2$ のとき，$\hat{\theta }$ の確率密度関数を求めよ．

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解答：

(問1)
(1) $X_1$ の確率密度関数は $x\in [0,1]$ において $1$、それ以外で $0$ である。

$$E[X_1]={\int }_0^{1}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=\frac{1}{2}$$ $$E[X_1^2]={\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{1}{3}$$ $$V[X_1]=E[X_1^2]-(E[X_1]{)}^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$

よって、

$$\boxed{E[X_1]=\frac{1}{2},V[X_1]=\frac{1}{12}}$$

(2) $X=\max (X_1,X_2)$ とし、余事象を用いて確率を計算する。

$$\mathrm{Pr}\left(X<\frac{1}{3}\right)=\mathrm{Pr}\left(X_1<\frac{1}{3},X_2<\frac{1}{3}\right)=\mathrm{Pr}\left(X_1<\frac{1}{3}\right)\mathrm{Pr}\left(X_2<\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$$

したがって、

$$\mathrm{Pr}\left(X\ge \frac{1}{3}\right)=1-\mathrm{Pr}\left(X<\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$$ $$\boxed{\mathrm{Pr}\left(X\ge \frac{1}{3}\right)=\frac{8}{9}}$$

(問2)
(1) 全確率の公式より、周辺確率密度関数は以下で与えられる。

$$f_{Y_2}(y_2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{Y_2|Y_1}(y_2|y_1)f_{Y_1}(y_1)d{y}_1={\int }_0^1\frac{1}{2}{e}^{-|y_2-y_1|}d{y}_1$$

$y_2$ の範囲によって場合分けを行う。
$y_2<0$ のとき、積分範囲 $y_1\in [0,1]$ において $|y_2-y_1|=y_1-y_2$ である。

$$f_{Y_2}(y_2)={\int }_0^1\frac{1}{2}{e}^{y_2-y_1}d{y}_1=\frac{1}{2}{e}^{y_2}{\left[-e^{-y_1}\right]}_0^1=\frac{1}{2}{e}^{y_2}(1-e^{-1})$$

$0\le y_2\le 1$ のとき、積分範囲を $[0,y_2]$ と $[y_2,1]$ に分割する。

$$\begin{array}{rl}{f}_{Y_2}(y_2)& ={\int }_0^{y_2}\frac{1}{2}{e}^{-(y_2-y_1)}d{y}_1+{\int }_{y_2}^1\frac{1}{2}{e}^{-(y_1-y_2)}d{y}_1\\ & =\frac{1}{2}{e}^{-y_2}{\left[e^{y_1}\right]}_0^{y_2}+\frac{1}{2}{e}^{y_2}{\left[-e^{-y_1}\right]}_{y_2}^1\\ & =\frac{1}{2}(1-e^{-y_2})+\frac{1}{2}(1-e^{y_2-1})=1-\frac{1}{2}(e^{-y_2}+e^{y_2-1})\end{array}$$

$y_2>1$ のとき、積分範囲 $y_1\in [0,1]$ において $|y_2-y_1|=y_2-y_1$ である。

$$f_{Y_2}(y_2)={\int }_0^1\frac{1}{2}{e}^{-(y_2-y_1)}d{y}_1=\frac{1}{2}{e}^{-y_2}{\left[e^{y_1}\right]}_0^1=\frac{1}{2}{e}^{-y_2}(e-1)$$

よって、

$$\boxed{f_{Y_2}(y_2)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{y_2}(1-e^{-1})& (y_2<0)\\ 1-\frac{1}{2}(e^{-y_2}+e^{y_2-1})& (0\le y_2\le 1)\\ \frac{1}{2}{e}^{-y_2}(e-1)& (y_2>1)\end{array}}$$

(2) 余事象を考えると積分の計算がより簡略になる。

$$\mathrm{Pr}(Y_2<0)={\int }_{-\infty }^0\frac{1}{2}{e}^{y_2}(1-e^{-1})d{y}_2=\frac{1}{2}(1-e^{-1}){\left[e^{y_2}\right]}_{-\infty }^0=\frac{1}{2}(1-e^{-1})$$

したがって、

$$\mathrm{Pr}(Y_2\ge 0)=1-\mathrm{Pr}(Y_2<0)=1-\frac{1}{2}(1-e^{-1})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}$$ $$\boxed{\mathrm{Pr}(Y_2\ge 0)=\frac{e+1}{2e}}$$

(問3)
(1) 連続一様分布 $U[0,\theta ]$ に従う確率変数 $Z_i$ の期待値は $E[Z_i]=\theta /2$ である。推定量 $\hat{\theta }$ の期待値を計算すると、

$$E[\hat{\theta }]=E\left[\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i\right]=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^{n}E[Z_i]=\frac{2}{n}\cdot n\cdot \frac{\theta }{2}=\theta$$

期待値が母数 $\theta$ に一致するため、$\hat{\theta }$ は $\theta$ の不偏推定量である。(証明終)

(2) $Z_i$ の分散は $V[Z_i]={\theta }^2/12$ であり、各 $Z_i$ は互いに独立であるから、

$$V[\hat{\theta }]=V\left[\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i\right]={\left(\frac{2}{n}\right)}^2\sum _{i=1}^{n}V[Z_i]=\frac{4}{n^2}\cdot n\cdot \frac{{\theta }^2}{12}=\frac{{\theta }^2}{3n}$$ $$\boxed{V[\hat{\theta }]=\frac{{\theta }^2}{3n}}$$

(3) $n=2$ のとき、$\hat{\theta }=Z_1+Z_2$ である。$Z_i$ の確率密度関数は $f_Z(z)=1/\theta$ ($0\le z\le \theta$) である。$W=Z_1+Z_2$ とおき、たたみ込み積分によって $W$ の確率密度関数 $f_{\hat{\theta }}(w)$ を求める。

$$f_{\hat{\theta }}(w)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_Z(z)f_Z(w-z)dz$$

被積分関数が $0$ でない条件は、$0\le z\le \theta$ かつ $0\le w-z\le \theta$、すなわち $\max (0,w-\theta )\le z\le \min (\theta ,w)$ である。
$0\le w\le \theta$ のとき、積分範囲は $[0,w]$ となる。

$$f_{\hat{\theta }}(w)={\int }_0^w\frac{1}{\theta }\cdot \frac{1}{\theta }dz=\frac{w}{{\theta }^2}$$

$\theta <w\le 2\theta$ のとき、積分範囲は $[w-\theta ,\theta ]$ となる。

$$f_{\hat{\theta }}(w)={\int }_{w-\theta }^{\theta }\frac{1}{\theta }\cdot \frac{1}{\theta }dz=\frac{\theta -(w-\theta )}{{\theta }^2}=\frac{2\theta -w}{{\theta }^2}$$

それ以外の範囲では $f_{\hat{\theta }}(w)=0$ である。

$$\boxed{f_{\hat{\theta }}(w)=\{\begin{array}{ll}\frac{w}{{\theta }^2}& (0\le w\le \theta )\\ \frac{2\theta -w}{{\theta }^2}& (\theta <w\le 2\theta )\\ 0& (\text{その他})\end{array}}$$

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这道概率统计题目涵盖了连续一様分布的基本性质、最大值的分布、条件概率密度函数的处理以及参数估计等核心概念。在第一问中，通过独立性推导最大值的累积分布函数是一个标准的技巧，将求最大值大于某数转化为所有变量都小于某数的余事件。第二问考察了条件概率下的全概率公式，计算边缘概率密度时，最容易出错的地方在于对绝对值函数的去符号处理，必须要根据变量的取值范围进行严谨的分段积分。在计算概率时巧妙利用对立事件可以大幅减少计算量。第三问则转向了统计推断，验证无偏估计量和计算方差是期望与方差线性性质的直接应用，而求两个独立均匀分布变量之和的密度函数，本质上是求解两个矩形函数的卷积，通过分析积分上、下限的交集来确定分段函数的表达式是解决此类问题的关键步骤。