0209-2023 东新复机械 P139

力学连势振动近似计算

図1のように長さ $l_{1}$ の棒1と質量 $m_{1}$ の質点1から成る振り子の先に，長さ $l_{2}$ の棒2と質量 $m_{2}$ の質点2から成る振り子がつながった系を考える．棒に質量はないものとする．重力加速度は鉛直下向きに $g (> 0)$ であるとし，棒1，棒2が鉛直下向きからなす角をそれぞれ $θ_{1}, θ_{2}$ とする． $θ_{1}, θ_{2}$ の0からの変位は十分小さいとして， $θ_{1}, θ_{2}$ の累乗の最低次の近似で答えよ．

(問1) まず， $θ_{1} = 0$ で変化しない場合を考える．
(1) $θ_{2}$ についての1次の運動方程式を書け．
(2) (1)の運動方程式の正の固有角周波数を求めよ．
(3) 質点2と共に運動する系における，棒2に沿った方向の慣性力の $θ_{2}$ についての次数を書け．
(4) 質点2が棒2から受ける張力の大きさ $F$ を求めよ．

(問2) 次に質点1の運動も含めて考える．
(1) 質点1についての $θ_{1}$ 方向の運動方程式を，棒2にかかる張力 $F$ を用いて書け．
(2) 実験室系における，質点1の棒1に沿った方向の加速度の $θ_{1}$ についての次数を書け．
(3) 質点2についての運動方程式には，(問1)(1)の力に加えて，力 ( $≃ - m_{2} l_{1} d^{2} θ_{1} / d t^{2}$ ) が働く．この力が現れる理由を簡潔に説明せよ．
(4) $(θ_{1}, θ_{2})$ の1次の連立運動方程式を

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} (θ_{1} θ_{2}) = - (κ_{11} κ_{21} κ_{12} κ_{22}) (θ_{1} θ_{2})

の形で書け． $θ_{1}, θ_{2}$ について最低次では，棒2にかかる張力 $F$ は(問1)(4)と同じであるとせよ．
(5) $l_{1} = 2 a /3$ , $l_{2} = a /2$ , $m_{1} = m_{2}$ のとき，この系の2つの正の固有角周波数と，それぞれに対する固有ベクトル $(θ_{1}, θ_{2})$ を求めよ．固有ベクトルを規格化する必要はない．

解答：

(問1)
(1)

m_{2} l_{2} \frac{d ^{2} θ _{2}}{d t ^{2}} = - m_{2} g θ_{2}

(2)

\frac{d ^{2} θ _{2}}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l _{2}} θ_{2} ⟹ ω = \frac{g}{l _{2}}

(3)
慣性力は遠心力であり， $θ_{2} (t) = A cos (ω t + α)$ とすると，

m_{2} l_{2} (\frac{d θ _{2}}{d t})^{2} \propto sin^{2} (ω t + α) \sim O (θ_{2}^{2})

2 次

(4)
棒2に沿った方向の運動方程式より，

F - m_{2} g cos θ_{2} = m_{2} l_{2} (\frac{d θ _{2}}{d t})^{2}

最低次（0次）の近似において $cos θ_{2} ≃ 1$ および $(d θ_{2} / d t)^{2} ≃ 0$ より，

F = m_{2} g

(問2)
(1)
質点1には重力の接線成分と，張力 $F$ の接線成分が働く．

m_{1} l_{1} \frac{d ^{2} θ _{1}}{d t ^{2}} = - m_{1} g sin θ_{1} + F sin (θ_{2} - θ_{1})

微小角近似より，

m_{1} l_{1} \frac{d ^{2} θ _{1}}{d t ^{2}} = - m_{1} g θ_{1} + F (θ_{2} - θ_{1})

(2)
向心加速度成分であるため，

l_{1} (\frac{d θ _{1}}{d t})^{2} \sim O (θ_{1}^{2})

2 次

(3)

質点1が加速度運動をしており，質点2から見ると非慣性系となり質点1の加速度に起因する慣性力が働くため．

(4)
(問2)(1) の式に $F = m_{2} g$ を代入して整理すると，

\frac{d ^{2} θ _{1}}{d t ^{2}} = - \frac{( m _{1} + m _{2} ) g}{m _{1} l _{1}} θ_{1} + \frac{m _{2} g}{m _{1} l _{1}} θ_{2}

質点2の水平方向の位置は $x_{2} ≃ l_{1} θ_{1} + l_{2} θ_{2}$ であり，水平方向の運動方程式は $m_{2} \overset{x}{¨}_{2} ≃ - F θ_{2}$ となるため，

m_{2} (l_{1} \ddot{θ}_{1} + l_{2} \ddot{θ}_{2}) l_{2} \ddot{θ}_{2} \frac{d ^{2} θ _{2}}{d t ^{2}} = - m_{2} g θ_{2} = - l_{1} (- \frac{( m _{1} + m _{2} ) g}{m _{1} l _{1}} θ_{1} + \frac{m _{2} g}{m _{1} l _{1}} θ_{2}) - g θ_{2} = \frac{( m _{1} + m _{2} ) g}{m _{1} l _{2}} θ_{1} - \frac{( m _{1} + m _{2} ) g}{m _{1} l _{2}} θ_{2}

よって行列形式で表すと，

(κ_{11} κ_{21} κ_{12} κ_{22}) = (\frac{( m _{1} + m _{2} ) g}{m _{1} l _{1}} - \frac{( m _{1} + m _{2} ) g}{m _{1} l _{2}} - \frac{m _{2} g}{m _{1} l _{1}} \frac{( m _{1} + m _{2} ) g}{m _{1} l _{2}})

(5)
与えられた値を代入すると，

K = (κ_{11} κ_{21} κ_{12} κ_{22}) = (\frac{3 g}{a} - \frac{4 g}{a} - \frac{3 g}{2 a} \frac{4 g}{a}) = \frac{g}{a} (3 - 4 - 3/2 4)

固有値方程式 $det (K - ω^{2} I) = 0$ を解く．

(\frac{3 g}{a} - ω^{2}) (\frac{4 g}{a} - ω^{2}) - (- \frac{3 g}{2 a}) (- \frac{4 g}{a}) ω^{4} - \frac{7 g}{a} ω^{2} + \frac{6 g ^{2}}{a ^{2}} (ω^{2} - \frac{g}{a}) (ω^{2} - \frac{6 g}{a}) = 0 = 0 = 0

したがって，固有角周波数は，

ω_{1} = \frac{g}{a}, ω_{2} = \frac{6 g}{a}

$ω_{1}$ に対する固有ベクトルは，

\frac{g}{a} (2 - 4 - 3/2 3) (θ_{1} θ_{2}) = (00) ⟹ (θ_{1} θ_{2}) = (34)

$ω_{2}$ に対する固有ベクトルは，

\frac{g}{a} (- 3 - 4 - 3/2 - 2) (θ_{1} θ_{2}) = (00) ⟹ (θ_{1} θ_{2}) = (1 - 2)

这道力学题考察了双摆系统在微小位移下的耦合振动问题。处理这类问题时通常涉及在平衡位置附近的线性化。在微小角度下，向心力项因为正比于角速度的平方，在泰勒展开中属于二阶微小量，而在计算切向运动方程或者张力的零阶近似时可以忽略不计。题目巧妙地引导我们先单独分析下半部分摆的运动，随后再扩展到完整的耦合系统。构建动力学方程时，除了直接运用牛顿第二定律分析各个质点在参考系和非惯性系中的受力外，利用拉格朗日力学方法写出系统的动能和势能，并在微小量假设下保留到二阶项，进而推导动力学方程也是一种常用且能避免繁杂受力分析的有效途径。最后求解特征值和特征向量揭示了该系统的两个固有振动模式，一个是两个摆同向摆动，另一个则是反向摆动。

ふろた

Explorer

0209-2023 东新复机械 P139

ふろた

Explorer

0209-2023 东新复 机械 P139

0209-2023 东新复机械 P139