0208-2023 东新复 数学 P138

线性代数 特征值 极限 线性相关 空间平面 行列式

(問1) 行列 $A$ とベクトル $\mathbf{b}$ を

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ a& 0& 1\\ 1-a& 0& 0\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

とする. ここで $a$ は実定数である. また, ${\mathbf{x}}_n$ ($n=0,1,2,\dots$) を3次元の実ベクトルとする. このとき以下の問に答えよ.
導出の過程を省略し, 答えのみを示せ.

(1) $A$ の固有値を求めよ.
(2) $A$ のランク $r$ が $r<3$ であるとする. $a$ を求めよ.
(3) $A\mathbf{v}=0$ を満たすベクトル $\mathbf{v}$ の集合を求めよ.
(4) 写像 ${\mathbf{x}}_{n+1}=A{\mathbf{x}}_n$ ($n=0,1,2,\dots$) を考える. 任意の ${\mathbf{x}}_0$ に対して

$${\mathbf{x}}^{\ast }=\underset{n\to \infty }{\lim }{\mathbf{x}}_n$$

が存在するための $a$ の条件を求めよ.
(5) $a$ が (4) で求めた条件を満たすとする. このとき, ${\mathbf{x}}_0=\mathbf{b}$ に対する ${\mathbf{x}}^{\ast }$ を求めよ.

(問2) 次の3つのベクトルを考える:

$${\mathbf{u}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right),{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{u}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

以下の問いに答えよ.

(1) これらのベクトルが1次独立であるかを判定せよ.
(2) これらのベクトルの1次結合で表される点 $(x,y,z)$ の集合が従う方程式を $z=lx+my$ とする. $l$ と $m$ を求めよ. 導出の過程を省略し, 答えのみを示せ.

(問3) $xy$ 直交座標系上の3直線 $a_{i}x+b_{i}y+c_i=0$ ($i=1,2,3$) が1点で交わる, あるいは, 平行であるための必要十分条件は

$$c_1{f}_1+c_2{f}_2+c_3{f}_3=0$$

である. ここで $f_i$ ($i=1,2,3$) はある関数

$$f_i=f_i(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3)$$

である. この命題に対して次の問に答えよ.

(1) 3直線が1点で交わるという条件から関数 $f_i$ ($i=1,2,3$) を求めよ. 導出の過程を省略し, 答えのみを示せ.
(2) この命題を証明せよ.

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解答：

(問1)
(1) 特性方程式は

$$|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 0\\ -a& \lambda & -1\\ a-1& 0& \lambda \end{array}\right|={\lambda }^3-a\lambda +a-1=(\lambda -1)({\lambda }^2+\lambda +1-a)=0$$

これを解くと

$$\boxed{\lambda =1,\frac{-1\pm \sqrt{4a-3}}{2}}$$

(2) $r<3$ より $\det (A)=0$ である。

$$\det (A)=-|A|=1-a=0$$ $$\boxed{a=1}$$

(3) $A\mathbf{v}=0$ について、$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ とおく。

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ a& 0& 1\\ 1-a& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y\\ ax+z\\ (1-a)x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

$a=1$ のとき、$y=0,x+z=0$ を満たすので、

$$\boxed{\left\{k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)|k\in \mathbb{R}\right\}(a=1\text{ のとき})}$$

$a\ne 1$ のとき、$x=0,y=0,z=0$ となるため、

$$\boxed{\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right\}(a\ne 1\text{ のとき})}$$

(4) 任意の ${\mathbf{x}}_0$ に対して ${\mathbf{x}}_n=A^n{\mathbf{x}}_0$ が収束するためには、固有値 ${\lambda }_1=1$ の他に、${\lambda }_2,{\lambda }_3$ が $|{\lambda }_i|<1$ を満たす必要がある。
${\lambda }^2+\lambda +1-a=0$ の解の絶対値が1より小さくなる条件は、

$$\begin{array}{rl}|1-a|& <1\\ |1|& <1+(1-a)\end{array}$$

これを解くと、

$$\boxed{0<a<1}$$

(5) $0<a<1$ のとき、$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^n$ は、固有値1に属する左固有ベクトル ${\mathbf{u}}^T$ と右固有ベクトル $\mathbf{w}$ を用いて表現できる。
$A\mathbf{w}=\mathbf{w}$ を解くと、$\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1-a\end{array}\right)$
${\mathbf{u}}^{T}A={\mathbf{u}}^T$ を解くと、$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
${\mathbf{x}}^{\ast }=\frac{{\mathbf{u}}^T\mathbf{b}}{{\mathbf{u}}^T\mathbf{w}}\mathbf{w}$ となるので、

$${\mathbf{u}}^T\mathbf{b}=1,{\mathbf{u}}^T\mathbf{w}=1+1+1-a=3-a$$

よって、

$$\boxed{{\mathbf{x}}^{\ast }=\frac{1}{3-a}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1-a\end{array}\right)}$$

(問2)
(1) 3つのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式を計算する。

$$\det ({\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{u}}_3)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right|=1(1-0)-3(1-0)-2(0-1)=1-3+2=0$$

行列式が0であるため、これらのベクトルは

$$\boxed{\text{1次従属である}}$$

(2) ${\mathbf{u}}_2$ と ${\mathbf{u}}_3$ は1次独立なので、これらが張る平面の方程式を求める。法線ベクトル $\mathbf{n}$ は

$$\mathbf{n}={\mathbf{u}}_2\times {\mathbf{u}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$$

原点を通る平面なので、方程式は $x-y-z=0$、すなわち $z=x-y$ となる。
よって、

$$\boxed{l=1,m=-1}$$

(問3)
(1) 直線2と直線3の交点を求める。

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ a_3& b_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-c_2\\ -c_3\end{array}\right)⟹\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\frac{1}{a_2{b}_3-a_3{b}_2}\left(\begin{array}{c}-c_2{b}_3+c_3{b}_2\\ a_2{c}_3-a_3{c}_2\end{array}\right)$$

直線1がこの交点を通るので、

$$a_1\frac{-c_2{b}_3+c_3{b}_2}{a_2{b}_3-a_3{b}_2}+b_1\frac{a_2{c}_3-a_3{c}_2}{a_2{b}_3-a_3{b}_2}+c_1=0$$

分母を払い整理すると、

$$c_1(a_2{b}_3-a_3{b}_2)+c_2(a_3{b}_1-a_1{b}_3)+c_3(a_1{b}_2-a_2{b}_1)=0$$

比較して、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{f}_1& =a_2{b}_3-a_3{b}_2\\ f_2& =a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ f_3& =a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}}$$

(2) 3直線の方程式を行列形式で書くと、

$$M\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right),M=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)$$

条件式 $c_1{f}_1+c_2{f}_2+c_3{f}_3=0$ は、3列目に関する余因子展開により $\det (M)=0$ と同値である。

(必要性の証明)
3直線が $(x_0,y_0)$ で交わる場合、非自明な解 $\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ 1\end{array}\right)$ が存在するため $\det (M)=0$ となる。
3直線が平行（一致も含む）の場合、法線ベクトル $(a_i,b_i)$ は全て互いに実数倍となるため、$M$ の1列目と2列目は1次従属となり、$\det (M)=0$ となる。
いずれの場合も条件式が成り立つ。

(十分性の証明)
$\det (M)=0$ を仮定する。このとき $M\mathbf{w}=0$ を満たす非自明なベクトル $\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array}\right)\ne 0$ が存在する。
$w\ne 0$ のとき、$(x,y)=(u/w,v/w)$ とすれば、$a_{i}x+b_{i}y+c_i=0$ が成り立ち、3直線はこの1点で交わる。
$w=0$ のとき、$(u,v)\ne (0,0)$ であり、$a_{i}u+b_{i}v=0$ が成り立つ。これは全ての法線ベクトル $(a_i,b_i)$ が $(u,v)$ と直交する、つまり全て平行であることを意味し、よって3直線は平行となる。
したがって、命題は真である。(証明終)

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补充说明：
这道线性代数考题主要涵盖了矩阵特征值的性质、零空间的求解、矩阵幂的收敛性以及空间解析几何的基础知识。第一题考察了差分方程的状态转移矩阵，求解收敛条件时需要应用实系数二次方程的根在单位圆内的判定条件，这里用到了在端点处的函数值以及两根之积小于1的性质。在第五小问中，极限向量本质上是初始向量在对应特征值为1的右特征向量上的投影，投影系数可以通过左特征向量求出，这比直接计算方阵的n次幂要简洁得多。第三题利用行列式的余子式展开，很巧妙地将三直线共点或平行的几何条件转化为了系数矩阵行列式为零的代数条件，证明时对齐次线性方程组非零解中最后一个分量是否为零进行分类讨论是解题的关键所在。