0207-2023 东新复 数学 P137

常微分方程 线性代数 微分积分

以下の問に答えよ．すべての定数と変数は実数，関数は実関数とする．導出の過程を省略し，答えのみ示せ．

(問1) 関数 $A(t),B(t),C(t)$ が以下の微分方程式を満たしている．

$$\frac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t}=-k_{1}A(t)$$
$$\frac{\mathrm{d}B(t)}{\mathrm{d}t}=k_{1}A(t)-k_{2}B(t)$$
$$\frac{\mathrm{d}C(t)}{\mathrm{d}t}=k_{2}B(t)$$

初期条件は $A(0)=A_0,B(0)=0,C(0)=0$ である．ただし $A_0,k_1,k_2$ は正の定数である．

(1) $A(t)$ を求めよ．
(2) $k_1\ne k_2$ のとき $B(t)$ と $C(t)$ を求めよ．
(3) $k_1=k_2$ のとき $B(t)$ と $C(t)$ を求めよ．

(問2) $xyz$ 直交座標系において成分 $(a,b,c)$ を持つ単位ベクトルを法線ベクトルとし，原点を通る平面 P を考える．

(1) 平面 P の表式を示せ．
(2) 3点の座標 ${\mathrm{Q}}_1(\sqrt{2},0,0),{\mathrm{Q}}_2(0,1,-1),{\mathrm{Q}}_3(1,1,1)$ を定義する．${\mathrm{Q}}_i(i=1,2,3)$ から平面 P への距離を $h_i$ とするとき， $L=h_1^2+h_2^2+h_3^2$ とする．$L$ の表式を示せ．
(3) $L$ を最小とする平面 P の式と $L$ の値を求めよ．

(問3) $xy$ 直交座標系で三つの曲線 $y=\frac{1}{x^2+1},y=\frac{1}{2}{x}^2$, 及び $x=0$ で囲まれる $x\ge 0$ の領域 W を $y$ 軸の回りで 1 回転してできる立体の体積を求めよ．

(問4) $xyz$ 直交座標系において点 $(x,y,z)=(\cos \theta ,\sin \theta ,\theta )$ の $0\le \theta \le 2\pi$ の区間の軌跡の長さを求めよ．

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解答：

(問1)
(1)

$$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=-k_{1}A⟹\int \frac{\mathrm{d}A}{A}=\int -k_1\mathrm{d}t⟹\ln A=-k_{1}t+C$$
$$A(0)=A_0⟹C=\ln A_0$$
$$\boxed{A(t)=A_0{e}^{-k_{1}t}}$$

(2)

$$\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}+k_{2}B=k_1{A}_0{e}^{-k_{1}t}$$
$$e^{k_{2}t}\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}+k_2{e}^{k_{2}t}B=k_1{A}_0{e}^{(k_2-k_1)t}⟹\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(B{e}^{k_{2}t})=k_1{A}_0{e}^{(k_2-k_1)t}$$
$$B(t)e^{k_{2}t}=\frac{k_1{A}_0}{k_2-k_1}{e}^{(k_2-k_1)t}+C_1$$
$$B(0)=0⟹C_1=-\frac{k_1{A}_0}{k_2-k_1}⟹B(t)=\frac{k_1{A}_0}{k_2-k_1}(e^{-k_{1}t}-e^{-k_{2}t})$$
$$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}=0⟹A(t)+B(t)+C(t)=A_0$$
$$C(t)=A_0-A(t)-B(t)$$

$$\begin{array}{rl}B(t)& =\frac{k_1{A}_0}{k_2-k_1}(e^{-k_{1}t}-e^{-k_{2}t})\\ C(t)& =A_0\left(1-\frac{k_2{e}^{-k_{1}t}-k_1{e}^{-k_{2}t}}{k_2-k_1}\right)\end{array}$$

(3)

$$\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}+k_{1}B=k_1{A}_0{e}^{-k_{1}t}⟹\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(B{e}^{k_{1}t})=k_1{A}_0$$
$$B(t)e^{k_{1}t}=k_1{A}_{0}t+C_2$$
$$B(0)=0⟹C_2=0⟹B(t)=k_1{A}_{0}t{e}^{-k_{1}t}$$
$$C(t)=A_0-A(t)-B(t)$$

$$\begin{array}{rl}B(t)& =k_1{A}_{0}t{e}^{-k_{1}t}\\ C(t)& =A_0(1-(1+k_{1}t)e^{-k_{1}t})\end{array}$$

(問2)
(1)

$$\boxed{ax+by+cz=0}$$

(2)

$$h_i=\frac{|a{x}_i+b{y}_i+c{z}_i|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=|a{x}_i+b{y}_i+c{z}_i|$$
$$h_1^2=(\sqrt{2}a{)}^2=2a^2$$
$$h_2^2=(b-c{)}^2=b^2-2bc+c^2$$
$$h_3^2=(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$
$$L=h_1^2+h_2^2+h_3^2=3a^2+2b^2+2c^2+2ab+2ca$$
$$\boxed{L=3a^2+2b^2+2c^2+2ab+2ca}$$

(3)

$$a^2+b^2+c^2=1$$
$$L=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$$
$$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right),|M-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 1& 1\\ 1& 2-\lambda & 0\\ 1& 0& 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )({\lambda }^2-5\lambda +4)=0$$
$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=4$$
$${\lambda }_{\min }=1⟹L_{\min }=1$$
$$(M-I)\mathbf{v}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)⟹a=-b=-c$$
$$\mathbf{n}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1)$$

$$\begin{array}{rl}& \text{平面 P}:x-y-z=0\\ & \text{最小値}:L=1\end{array}$$

(問3)

$$\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{2}{x}^2⟹x^4+x^2-2=0⟹x=1(x\ge 0)$$
$$V={\int }_0^{1}2\pi x\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}{x}^2\right)\mathrm{d}x$$
$$V=2\pi {\left[\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-\frac{1}{8}{x}^4\right]}_0^1=2\pi \left(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{8}\right)$$
$$\boxed{V=\pi \left(\ln 2-\frac{1}{4}\right)}$$

(問4)

$$\mathrm{d}s=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta }\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta }\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta }\right)}^2}\mathrm{d}\theta =\sqrt{(-\sin \theta {)}^2+(\cos \theta {)}^2+1^2}\mathrm{d}\theta =\sqrt{2}\mathrm{d}\theta$$
$$S={\int }_0^{2\pi }\sqrt{2}\mathrm{d}\theta =2\sqrt{2}\pi$$
$$\boxed{2\sqrt{2}\pi }$$

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本题综合了常微分方程、多元微积分与线性代数的相关知识。第一题是典型的连续反应动力学方程组，可以通过求积分因子求解一阶线性非齐次微分方程，在特征根相等的临界情况下则退化为多项式与指数函数相乘的形式，在此过程中利用三个变量浓度之和守恒的物理性质可以规避复杂的积分过程。第二题考察了空间解析几何与实对称矩阵二次型，通过列出点到平面的距离平方和表达式，将优化问题转化为以法向量为自变量的实对称矩阵二次型极值问题，在单位法向量的约束条件下，利用拉格朗日乘数法可证得距离平方和的极值恰为该特征矩阵的特征值，因此求得最小特征值及其对应的特征向量即可确定平面方程。第三题在计算绕y轴的旋转体体积时，引入圆柱壳法可以有效避免将积分域按y分割成两部分，大幅简化了多项式及对数函数的定积分运算。第四题属于基础的三维空间螺旋线弧长计算，利用参数方程下曲线弧长的积分定义直接代入求解。