0206-2022 东新复 数学 P135

概率统计

(問1) 国民の0.1%が感染症に感染しているとする．ある検査は，検査を受けた感染者の80%を陽性と判定する．しかし，この検査は，検査を受けた非感染者の0.2%を陽性と誤って判定してしまう．国民から無作為に抽出された1名がこの検査で陽性と判定されたとき，感染している確率はいくらか．以下の選択肢のうちで最も近いものを1つ選べ．計算過程は示さなくてよい．
(a) 0.2, (b) 0.3, (c) 0.4, (d) 0.5,
(e) 0.6, (f) 0.7, (g) 0.8, (h) 0.9.

(問2) 確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で，同一の確率密度関数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$$

に従うとする．ただし，$e$は自然対数の底，$\lambda$は正のパラメータである．このとき，以下の問に答えよ．(1), (2), (3)については，導出の過程を省略し，答えのみ示せ．(4)と(5)は，答えに加えて導出の過程も示せ．

(1) 確率変数 $X_1$ の期待値 $E[X_1]$ と分散 $V[X_1]$ を考える．
$E[X_1]=a{\lambda }^b$ および $V[X_1]=c{\lambda }^d$ を満たす定数 $a,b,c,d$ を求めよ．

(2) 標本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ に基づく，パラメータ $\lambda$ についての最尤推定量 を求めよ．

(3) 確率変数 $S_2=X_1+X_2,S_3=X_1+X_2+X_3$ を考える．
$S_2,S_3$ の確率密度関数 $f_{S_2}(x),f_{S_3}(x)$ を求めよ．

(4) $n$ 個の確率変数の和，すなわち，$S_n=\sum _{k=1}^n{X}_k$ を考える．
$S_n$ の確率密度関数 $f_{S_n}(x)$ を導出せよ．
以下の公式を用いてもよい．

$$m!={\int }_0^{\infty }{t}^m{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$$

ただし，$m$ は自然数，$t$ は実数，$m!=m\cdot (m-1)\cdots 2\cdot 1$ は $m$ の階乗である．

(5) (2) で求めた最尤推定量が不偏推定量であること，あるいは，そうではないことを示せ．

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解答：

(問1)
事象 $D$ を感染していること，事象 $T$ を陽性と判定されることとする．

$$P(D)=0.001,P(\bar{D})=0.999$$
$$P(T|D)=0.8,P(T|\bar{D})=0.002$$
ベイズの定理より，

$$\begin{array}{rl}P(D|T)& =\frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D)+P(T|\bar{D})P(\bar{D})}\\ & =\frac{0.8\times 0.001}{0.8\times 0.001+0.002\times 0.999}\\ & =\frac{0.0008}{0.0008+0.001998}\\ & =\frac{0.0008}{0.002798}\approx 0.2859\end{array}$$

最も近いものは 0.3 である．

$$\boxed{(\mathrm{b})}$$

(問2)
(1)

$$E[X_1]={\int }_0^{\infty }x\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{1}{\lambda }=1\cdot {\lambda }^{-1}$$
$$E[X_1^2]={\int }_0^{\infty }{x}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{2}{{\lambda }^2}$$
$$V[X_1]=E[X_1^2]-(E[X_1]{)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}=1\cdot {\lambda }^{-2}$$
$$\boxed{a=1,b=-1,c=1,d=-2}$$

(2)
尤度関数 $L(\lambda )$ は

$$L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}f(X_i)={\lambda }^n{\mathrm{e}}^{-\lambda {\sum }_{i=1}^n{X}_i}$$
対数尤度関数 $\log L(\lambda )$ は
$$\log L(\lambda )=n\log \lambda -\lambda \sum _{i=1}^n{X}_i$$
$\lambda$ で微分して 0 とおくと
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }\log L(\lambda )=\frac{n}{\lambda }-\sum _{i=1}^n{X}_i=0$$
$$\boxed{\hat{\lambda }=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}}$$

(3)

$$\begin{array}{rl}{f}_{S_2}(x)& =\{\begin{array}{ll}{\lambda }^{2}x{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}\\ f_{S_3}(x)& =\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^3{x}^2}{2}{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}\end{array}$$

(4)
数学的帰納法により，$x\ge 0$ に対して $f_{S_n}(x)=\frac{{\lambda }^n{x}^{n-1}}{(n-1)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ であることを示す．（$x<0$ のときは常に $f_{S_n}(x)=0$）
$n=1$ のとき，$f_{S_1}(x)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ となり成立する．
$n=k$ のとき，$f_{S_k}(x)=\frac{{\lambda }^k{x}^{k-1}}{(k-1)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ が成立すると仮定する．
$n=k+1$ のとき，$S_{k+1}=S_k+X_{k+1}$ であり，$S_k$ と $X_{k+1}$ は独立であるから，たたみ込み積分より，

$$\begin{array}{rl}{f}_{S_{k+1}}(x)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{S_k}(y)f_{X_{k+1}}(x-y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^x\left(\frac{{\lambda }^k{y}^{k-1}}{(k-1)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\right)\left(\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda (x-y)}\right)\mathrm{d}y\\ & =\frac{{\lambda }^{k+1}}{(k-1)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}{\int }_0^x{y}^{k-1}\mathrm{d}y\\ & =\frac{{\lambda }^{k+1}}{(k-1)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}{\left[\frac{y^k}{k}\right]}_0^x\\ & =\frac{{\lambda }^{k+1}{x}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\end{array}$$

よって，$n=k+1$ のときも成立する．したがって，すべての自然数 $n$ について

$$\boxed{f_{S_n}(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^n{x}^{n-1}}{(n-1)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}}$$
(証明終)

(5)
$\hat{\lambda }=\frac{n}{S_n}$ の期待値 $E[\hat{\lambda }]$ を計算する．$n\ge 2$ とする．

$$\begin{array}{rl}E[\hat{\lambda }]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{n}{x}{f}_{S_n}(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\infty }\frac{n}{x}\frac{{\lambda }^n{x}^{n-1}}{(n-1)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{n{\lambda }^n}{(n-1)!}{\int }_0^{\infty }{x}^{n-2}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x\end{array}$$

ここで $t=\lambda x$ と変数変換すると，$\mathrm{d}x=\frac{1}{\lambda }\mathrm{d}t$ となり，

$$\begin{array}{rl}E[\hat{\lambda }]& =\frac{n{\lambda }^n}{(n-1)!}{\int }_0^{\infty }{\left(\frac{t}{\lambda }\right)}^{n-2}{\mathrm{e}}^{-t}\frac{1}{\lambda }\mathrm{d}t\\ & =\frac{n{\lambda }^n}{(n-1)!}\frac{1}{{\lambda }^{n-1}}{\int }_0^{\infty }{t}^{n-2}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{n\lambda }{(n-1)!}(n-2)!\\ & =\frac{n}{n-1}\lambda \ne \lambda \end{array}$$

期待値が真のパラメータ $\lambda$ と一致しないため，不偏推定量ではない．
(証明終)

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本题考查了概率统计中的几个核心知识点。第一题是典型的贝叶斯定理应用，通过已知条件分别求出患病与检测阳性的联合概率和总的阳性概率，两者相除即得后验概率，需要注意计算细节以选出最接近的值。第二题围绕指数分布及其参数估计展开。首先根据指数分布的定义，利用分部积分法求出其期望和方差，进而确定待求常数。求最大似然估计时，常规做法是写出样本联合密度的似然函数，取对数后对参数求导并令其为零。关于独立同分布指数随机变量之和的分布，其实质是典型的伽马分布。可以通过卷积公式结合数学归纳法进行严格递推证明。判断估计量是否为无偏估计，关键在于求其数学期望，这里需要用到前面求得的样本和的分布密度函数进行积分换元，最终结合题目给出的伽马函数积分公式化简，发现结果含有偏差因子，从而得出其是有偏估计的结论。