0205-2022 东新复 数学 P134

傅里叶与拉普拉斯变换 复变函数

$t,\omega$を実数とし，実関数$f(t)$のフーリエ変換と，その逆フーリエ変換をそれぞれ以下のように定義する．

$$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t$$
$${\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega$$
ここで$\mathrm{e}$は自然対数の底，$\mathrm{i}$は虚数単位である．$a$を正の実定数として，実関数$g(t)$を以下のように定義する．
$$g(t)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-at},& t\ge 0\\ 0,& t<0\end{array}$$

以下の問に答えよ．(問1)と(問2)は導出を省略し，答えのみ示せ．(問3)と(問4)は答えに加えて導出の過程も示せ．

(問1) $g(t)$のフーリエ変換$G(\omega )$を求めよ．

(問2) $s$を実数とし，実関数$h(t)$を$h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t+s)g(s)\mathrm{d}s$と定義する．$h(t)$のフーリエ変換$H(\omega )$を$G(\omega )$とその複素共役$\overline{G(\omega )}$を用いて表せ．

(問3) $z$を複素数とする．図1の積分経路$C=C_1+C_2$に沿った周回積分

$${\oint }_C\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}zt}}{z^2+a^2}\mathrm{d}z(t\ge 0)(1)$$
を考える．$C_1$は$-R$と$R$を結ぶ線分，$C_2$は原点Oを中心とする半径$R$の上半円である．ただし，$R>a$とする．$\mathrm{Re}z,\mathrm{Im}z$はそれぞれ$z$の実部と虚部を表す．
(i) 式(1)の被積分関数の$\mathrm{Im}z>0$における極とそこでの留数を求めよ．
(ii) 式(1)に留数定理を適用し，積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}}{{\omega }^2+a^2}\mathrm{d}\omega$$
を求めよ．$R\to \infty$で，$C_2$に沿った積分の寄与がなくなることを用いてよい．

(問4) (問2)で求めた$H(\omega )$の逆フーリエ変換${\mathcal{F}}^{-1}[H(\omega )]$を求め，$t$の関数としてその概形を描け．

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解答：

(問1)

$$G(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t={\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-at}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t={\left[\frac{{\mathrm{e}}^{-(a+\mathrm{i}\omega )t}}{-(a+\mathrm{i}\omega )}\right]}_0^{\infty }$$
$$\boxed{G(\omega )=\frac{1}{a+\mathrm{i}\omega }}$$

(問2)

$$\begin{array}{rl}H(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }g(t+s)g(s)\mathrm{d}s\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }g(s)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }g(t+s){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}s\end{array}$$
$\tau =t+s$ とおくと、$\mathrm{d}t=\mathrm{d}\tau$
$$\begin{array}{rl}H(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }g(s)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega (\tau -s)}\mathrm{d}\tau \right)\mathrm{d}s\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }g(s){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega s}\mathrm{d}s{\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \tau }\mathrm{d}\tau \\ & =\overline{G(\omega )}G(\omega )\end{array}$$
$$\boxed{H(\omega )=G(\omega )\overline{G(\omega )}}$$

(問3)
(i) $f(z)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}zt}}{z^2+a^2}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}zt}}{(z-\mathrm{i}a)(z+\mathrm{i}a)}$ とする．
極は分母が $0$ となる $z=\pm \mathrm{i}a$．
$\mathrm{Im}z>0$ における極は $z=\mathrm{i}a$ のみである．
ここでの留数は、

$$\mathrm{Res}(f,\mathrm{i}a)=\underset{z\to \mathrm{i}a}{\lim }(z-\mathrm{i}a)f(z)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\mathrm{i}a)t}}{\mathrm{i}a+\mathrm{i}a}=\frac{{\mathrm{e}}^{-at}}{2\mathrm{i}a}$$
$$\boxed{\text{極}:z=\mathrm{i}a,\text{留数}:\frac{{\mathrm{e}}^{-at}}{2\mathrm{i}a}}$$

(ii) 留数定理より、

$${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\mathrm{Res}(f,\mathrm{i}a)=2\pi \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{-at}}{2\mathrm{i}a}=\frac{\pi }{a}{\mathrm{e}}^{-at}$$
また、積分の経路を分けると ${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{-R}^{R}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{C_2}f(z)\mathrm{d}z$ である。$R\to \infty$ のとき、ジョルダンの補題により ${\int }_{C_2}f(z)\mathrm{d}z\to 0$ となるため、
$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{-R}^R\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xt}}{x^2+a^2}\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}}{{\omega }^2+a^2}\mathrm{d}\omega =\frac{\pi }{a}{\mathrm{e}}^{-at}$$
$$\boxed{\frac{\pi }{a}{\mathrm{e}}^{-at}}$$

(問4)
(問1)と(問2)より、$H(\omega )=G(\omega )\overline{G(\omega )}=\frac{1}{a+\mathrm{i}\omega }\frac{1}{a-\mathrm{i}\omega }=\frac{1}{{\omega }^2+a^2}$．

$$h(t)={\mathcal{F}}^{-1}[H(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}}{{\omega }^2+a^2}\mathrm{d}\omega$$
$t\ge 0$ のとき、(問3)(ii)の結果を用いて、
$$h(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{\pi }{a}{\mathrm{e}}^{-at}=\frac{1}{2a}{\mathrm{e}}^{-at}$$
$H(\omega )$ は実偶関数であるため、その逆フーリエ変換 $h(t)$ も実偶関数となる（被積分関数で $\omega \to -\omega$ と変数変換することでも示される）。したがって、$t<0$ のときは $h(t)=h(-t)=\frac{1}{2a}{\mathrm{e}}^{at}$ となる．
以上をまとめて、
$$\boxed{{\mathcal{F}}^{-1}[H(\omega )]=\frac{1}{2a}{\mathrm{e}}^{-a|t|}}$$

概形について：$t=0$ で最大値 $\frac{1}{2a}$ をとり、$t\to \pm \infty$ で $0$ に漸近する偶関数の山型曲線となる。