0204-2022 东新复 机械 P133

力学

直線上を運動する 4 つの質量 $m$ の質点を考える．図 1 に示すように，これらの質点は自然長 $l$，ばね定数 $k$，質量 0 のばねでつなげられているとする．左側の 2 つの質点とばねからなる系を物体 A，右側の 2 つの質点とばねからなる系を物体 B と呼ぶ．直線上の質点の座標をそれぞれ $x_1,x_2,x_3,x_4$，速度をそれぞれ $v_1,v_2,v_3,v_4$ とする．常に $x_1<x_2$, $x_3<x_4$ が成立し，2 つの質点が衝突する時の反発係数は 1（完全弾性衝突）とし，摩擦は無視できるものとする．以下の問に答えよ．ただし，解答用紙には解のみを記せ．

(問1) 時刻 $t=0$ で，$x_2<x_3$, $x_2-x_1=x_4-x_3=l$, $v_1=V_{10}(>0)$, $v_2=v_3=v_4=0$ とする．
(1) 物体 A のばねの伸び縮みを $\Delta x\equiv x_2-x_1-l$ とし，$\Delta x$ の運動方程式を示せ．また，その固有振動数を求めよ．
(2) 物体 A のエネルギーを 2 つの質点の重心の運動に伴うエネルギー $C_A$，2 つの質点の相対運動に伴うエネルギー $R_A$，ばねの蓄えるエネルギー $S_A$ に分解したとする．$C_A+R_A$ は全運動エネルギーとなる．$C_A+R_A$ を $m,v_1,v_2$ を用いて表せ．
(3) $C_A,R_A$ を $m,v_1,v_2$ を用いて表せ．また，$S_A$ を $x_1,x_2,l,k$ を用いて表せ．
(4) 時刻 $t=0$ で $C_A,R_A$ を $m,V_{10}$ を用いて表せ．また，この時の $S_A$ の値を求めよ．

(問2) (問1) で示した初期条件での物体 A と物体 B とのー度目の衝突を考える．このとき，$x_2=x_3$ となり，物体 A の右側の質点と物体 B の左側の質点が衝突する．衝突直前のこれらの質点の速度を $V_2(>0),v_3=0$，衝突直後の速度を $V_2^{\prime },V_3^{\prime }$ とする．
(1) $V_2^{\prime },V_3^{\prime }$ を $V_2$ を用いて表せ．
(2) 物体 B について，物体 A と同様にエネルギー $C_B,R_B,S_B$ を定義する．衝突直後の比 $C_B/(R_B+S_B)$ を求めよ．
(3) 衝突直前の $v_1$ を $V_{10},V_2$ を用いて表せ．
(4) 衝突直前の $R_A$ を $m,V_{10},V_2$ を用いて表せ．
(5) 衝突直後の比 $C_A/(R_A+S_A)$ を $V_{10},V_2$ を用いて表せ．

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解答：

(問1)
(1)

$$m{\ddot{x}}_1=k(x_2-x_1-l)$$
$$m{\ddot{x}}_2=-k(x_2-x_1-l)$$
$$m({\ddot{x}}_2-{\ddot{x}}_1)=-2k(x_2-x_1-l)$$
$$\boxed{m\Delta \ddot{x}=-2k\Delta x,\omega =\sqrt{\frac{2k}{m}}}$$

(2)

$$\boxed{C_A+R_A=\frac{1}{2}m{v}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_2^2}$$

(3)

$$v_G=\frac{v_1+v_2}{2}$$
$$C_A=\frac{1}{2}(2m)v_G^2=\frac{1}{4}m(v_1+v_2{)}^2$$
$$R_A=\frac{1}{2}m{v}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_2^2-C_A=\frac{1}{4}m(v_1-v_2{)}^2$$
$$\boxed{C_A=\frac{1}{4}m(v_1+v_2{)}^2,R_A=\frac{1}{4}m(v_1-v_2{)}^2,S_A=\frac{1}{2}k(x_2-x_1-l{)}^2}$$

(4)

$$\boxed{C_A=\frac{1}{4}m{V}_{10}^2,R_A=\frac{1}{4}m{V}_{10}^2,S_A=0}$$

(問2)
(1)

$$m{V}_2=m{V}_2^{\prime }+m{V}_3^{\prime }$$
$$\frac{V_3^{\prime }-V_2^{\prime }}{V_2}=1$$
$$\boxed{V_2^{\prime }=0,V_3^{\prime }=V_2}$$

(2)

$$C_B=\frac{1}{4}m(V_3^{\prime }+0{)}^2=\frac{1}{4}m{V}_2^2$$
$$R_B=\frac{1}{4}m(V_3^{\prime }-0{)}^2=\frac{1}{4}m{V}_2^2$$
$$S_B=0$$
$$\boxed{\frac{C_B}{R_B+S_B}=1}$$

(3)

$$m{v}_1+m{V}_2=m{V}_{10}$$
$$\boxed{v_1=V_{10}-V_2}$$

(4)

$$R_A=\frac{1}{4}m(v_1-V_2{)}^2=\frac{1}{4}m(V_{10}-2V_2{)}^2$$
$$\boxed{R_A=\frac{1}{4}m(V_{10}-2V_2{)}^2}$$

(5)
衝突直前の物体Aについて、

$$C_A=\frac{1}{4}m(v_1+V_2{)}^2=\frac{1}{4}m{V}_{10}^2$$
$$E_A=C_A+R_A+S_A=\frac{1}{2}m{V}_{10}^2$$
$$S_A=\frac{1}{4}m{V}_{10}^2-R_A=\frac{1}{4}m[V_{10}^2-(V_{10}-2V_2{)}^2]=m{V}_2(V_{10}-V_2)$$
衝突直後の物体Aのエネルギーについて、
$$C_A^{\prime }=\frac{1}{4}m(v_1+V_2^{\prime }{)}^2=\frac{1}{4}m(V_{10}-V_2{)}^2$$
$$R_A^{\prime }=\frac{1}{4}m(v_1-V_2^{\prime }{)}^2=\frac{1}{4}m(V_{10}-V_2{)}^2$$
$$S_A^{\prime }=S_A$$
$$\begin{array}{rl}\frac{C_A^{\prime }}{R_A^{\prime }+S_A^{\prime }}& =\frac{\frac{1}{4}m(V_{10}-V_2{)}^2}{\frac{1}{4}m(V_{10}-V_2{)}^2+m{V}_2(V_{10}-V_2)}\\ & =\frac{V_{10}-V_2}{V_{10}-V_2+4V_2}\\ & =\frac{V_{10}-V_2}{V_{10}+3V_2}\end{array}$$
$$\boxed{\frac{V_{10}-V_2}{V_{10}+3V_2}}$$

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本题考查了两体问题中的能量分解、动量守恒定律以及完全弹性碰撞的性质。在处理由弹簧连接的两个质点系统时，总动能可以分解为质心平动动能和相对运动动能两部分。由于水平方向上系统不受外力作用，质心平动速度在碰撞前保持不变，因此质心动能也是一个守恒量，结合系统总能量守恒，可以利用初始时刻的能量求出任意时刻的弹簧弹性势能。在完全弹性碰撞中，质量相等的两个质点会发生速度交换，利用这一特性可以快速确定碰撞后各质点的速度，进而求出碰撞后系统新的质心动能与相对运动动能。需要注意的是，碰撞瞬间弹簧的形变量不会发生突变，因此弹性势能在碰撞前后保持连续。