0203-2022 东新复 数学 P132

线性代数

以下の問に答えよ．
(問1) 実正方行列 $A$ を

$$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ 1-\alpha & 1-\beta \end{array}\right)$$

とする．ただし $0<\alpha <1,0<\beta <1$ とする．このとき，以下の問に答えよ．導出の過程を省略し，答えのみ示せ．
(1) 行列 $A$ の固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ を求めよ．ただし，${\lambda }_1<{\lambda }_2$ とする．
(2) 行列 $A$ の固有ベクトル ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ を求めよ．ただし，固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ とする．
(3) 正の整数 $n$ に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^n$ を求めよ．

(問2) $n\times n$ 実対称行列 $B$ の固有値を ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n$ (${\mu }_1<{\mu }_2<\cdots <{\mu }_n$) とし，対応する固有ベクトルをそれぞれ ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n$ とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1) $\mathbf{x}\ne 0$ の制約のもとでの $\frac{{\mathbf{x}}^{\top }B\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}}$ の最小値を求めよ．答えに加えて，導出の過程を示せ．
(2) $\mathbf{x}\ne 0,{\mathbf{x}}^{\top }{\mathbf{v}}_i=0$ ($i=1,2,\dots ,m,1\le m<n$) の制約のもとでの $\frac{{\mathbf{x}}^{\top }B\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}}$ の最小値を求めよ．導出の過程を省略し，答えのみ示せ．
ただし，$n,m$ は正の整数，$\mathbf{x}$ は $n$ 次元実ベクトル，$\top$ は転置とする．

(問3) 実正方行列 $C$ を

$$C=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right)$$

とする．行列 $C$ の固有値を ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ (${\gamma }_1<{\gamma }_2<{\gamma }_3$) とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1) 以下を ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ を用いて示せ．導出の過程を省略し，答えのみ示せ．

$$\sum _{1\le i<j\le 3}(c_{ii}{c}_{jj}-c_{ij}{c}_{ji})$$

(2) 以下が成立することを示せ．ただし $e$ は自然対数の底，$k!=k\cdot (k-1)\cdots 2\cdot 1$ は $k$ の階乗，$\det$ は行列式とする．導出の過程も示せ．

$$\det \left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{C}^k\right)=e^{{\gamma }_1+{\gamma }_2+{\gamma }_3}$$

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解答：

(問1)
(1) 行列 $A$ の特性方程式 $\det (\lambda I-A)=0$ を解く．

$$\begin{array}{rl}\det (\lambda I-A)& =\left|\begin{array}{cc}\lambda -\alpha & -\beta \\ -(1-\alpha )& \lambda -(1-\beta )\end{array}\right|\\ & =(\lambda -\alpha )(\lambda -1+\beta )-\beta (1-\alpha )\\ & ={\lambda }^2-(\alpha -\beta +1)\lambda +(\alpha -\beta )\\ & =(\lambda -1)(\lambda -(\alpha -\beta ))=0\end{array}$$

固有値は $\lambda =1,\alpha -\beta$ となる．
条件 $0<\alpha <1,0<\beta <1$ より $-1<\alpha -\beta <1$ であるため，$\alpha -\beta <1$ が成り立つ．
したがって，${\lambda }_1<{\lambda }_2$ より

$$\boxed{{\lambda }_1=\alpha -\beta ,{\lambda }_2=1}$$

(2) ${\lambda }_1=\alpha -\beta$ に対する固有ベクトルを求める．$(A-{\lambda }_{1}I){\mathbf{x}}_1=0$ より

$$\left(\begin{array}{cc}\beta & \beta \\ 1-\alpha & 1-\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{11}\\ x_{12}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$
$x_{11}+x_{12}=0$ であるから，
$$\boxed{{\mathbf{x}}_1=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)(c_1\ne 0)}$$
${\lambda }_2=1$ に対する固有ベクトルを求める．$(A-{\lambda }_{2}I){\mathbf{x}}_2=0$ より
$$\left(\begin{array}{cc}\alpha -1& \beta \\ 1-\alpha & -\beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{21}\\ x_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$
$(\alpha -1)x_{21}+\beta x_{22}=0$ であるから，
$$\boxed{{\mathbf{x}}_2=c_2\left(\begin{array}{c}\beta \\ 1-\alpha \end{array}\right)(c_2\ne 0)}$$

(3) 行列 $A$ を対角化する．$P=({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ -1& 1-\alpha \end{array}\right)$ とおくと，$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}\alpha -\beta & 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ となる．

$$A^n=P\left(\begin{array}{cc}(\alpha -\beta {)}^n& 0\\ 0& 1^n\end{array}\right)P^{-1}$$
ここで，$|\alpha -\beta |<1$ より $\underset{n\to \infty }{\lim }(\alpha -\beta {)}^n=0$ であるため，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^n=P\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)P^{-1}$$
$P^{-1}=\frac{1}{1-\alpha +\beta }\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & -\beta \\ 1& 1\end{array}\right)$ であるから，これを代入して計算する．

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^n& =\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ -1& 1-\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\frac{1}{1-\alpha +\beta }\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & -\beta \\ 1& 1\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1-\alpha +\beta }\left(\begin{array}{cc}0& \beta \\ 0& 1-\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & -\beta \\ 1& 1\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1-\alpha +\beta }\left(\begin{array}{cc}\beta & \beta \\ 1-\alpha & 1-\alpha \end{array}\right)\end{array}$$

$$\boxed{\frac{1}{1-\alpha +\beta }\left(\begin{array}{cc}\beta & \beta \\ 1-\alpha & 1-\alpha \end{array}\right)}$$

(問2)
(1) 実対称行列 $B$ の固有ベクトル ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n$ は正規直交基底をなすように取ることができる．
任意の $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ はこの基底を用いて展開できる．

$$\mathbf{x}=\sum _{j=1}^n{c}_j{\mathbf{v}}_j$$
このとき，内積の性質より次が成り立つ．
$${\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}={\left(\sum _{j=1}^n{c}_j{\mathbf{v}}_j\right)}^{\top }\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{\mathbf{v}}_k\right)=\sum _{j=1}^n{c}_j^2$$
$${\mathbf{x}}^{\top }B\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\top }\left(\sum _{j=1}^n{c}_{j}B{\mathbf{v}}_j\right)={\mathbf{x}}^{\top }\left(\sum _{j=1}^n{c}_j{\mu }_j{\mathbf{v}}_j\right)=\sum _{j=1}^n{\mu }_j{c}_j^2$$
これらを用いて与えられたレイリー商を評価する．
$$\frac{{\mathbf{x}}^{\top }B\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}}=\frac{{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j{c}_j^2}{{\sum }_{j=1}^n{c}_j^2}$$
${\mu }_1<{\mu }_2<\cdots <{\mu }_n$ であるから，すべての $j$ に対して ${\mu }_j\ge {\mu }_1$ となるため，
$$\frac{{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j{c}_j^2}{{\sum }_{j=1}^n{c}_j^2}\ge \frac{{\sum }_{j=1}^n{\mu }_1{c}_j^2}{{\sum }_{j=1}^n{c}_j^2}={\mu }_1\frac{{\sum }_{j=1}^n{c}_j^2}{{\sum }_{j=1}^n{c}_j^2}={\mu }_1$$
等号は $c_2=\cdots =c_n=0$，すなわち $\mathbf{x}=c_1{\mathbf{v}}_1$ のときに成立する．
よって，求める最小値は
$$\boxed{{\mu }_1}$$

(2) 制約条件 ${\mathbf{x}}^{\top }{\mathbf{v}}_i=0$ ($i=1,\dots ,m$) により，$\mathbf{x}$ の展開係数は $c_1=\cdots =c_m=0$ となる．
このとき $\mathbf{x}=\sum _{j=m+1}^n{c}_j{\mathbf{v}}_j$ であり，レイリー商は

$$\frac{{\mathbf{x}}^{\top }B\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}}=\frac{{\sum }_{j=m+1}^n{\mu }_j{c}_j^2}{{\sum }_{j=m+1}^n{c}_j^2}\ge {\mu }_{m+1}$$
となるから，最小値は
$$\boxed{{\mu }_{m+1}}$$

(問3)
(1) 行列 $C$ の特性多項式 $P(\lambda )=\det (\lambda I-C)$ を考える．これを展開したときの $\lambda$ の1次の項の係数は，2次の主小行列式の和の符号を反転させたものとなる．

$$\det (\lambda I-C)={\lambda }^3-\text{tr}(C){\lambda }^2+\left(\sum _{1\le i<j\le 3}(c_{ii}{c}_{jj}-c_{ij}{c}_{ji})\right)\lambda -\det (C)$$
一方，固有値が ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ であるため，特性多項式は次のように因数分解される．
$$\det (\lambda I-C)=(\lambda -{\gamma }_1)(\lambda -{\gamma }_2)(\lambda -{\gamma }_3)={\lambda }^3-({\gamma }_1+{\gamma }_2+{\gamma }_3){\lambda }^2+({\gamma }_1{\gamma }_2+{\gamma }_2{\gamma }_3+{\gamma }_3{\gamma }_1)\lambda -{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3$$
両式の $\lambda$ の1次の係数を比較して，
$$\boxed{{\gamma }_1{\gamma }_2+{\gamma }_2{\gamma }_3+{\gamma }_3{\gamma }_1}$$

(2) 行列指数関数の定義 $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{C}^k=e^C$ を用いる．
行列 $C$ は複素数の範囲で適当な正則行列 $P$ により上三角行列 $T$ に変形（シューア分解）できる．すなわち $C=PT{P}^{-1}$ であり，$T$ の対角成分は $C$ の固有値 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ である．

$$\begin{array}{rl}{e}^C& =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}(PT{P}^{-1}{)}^k\\ & =P\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{T}^k\right)P^{-1}\\ & =P{e}^T{P}^{-1}\end{array}$$

$T$ が上三角行列であるため，$T^k$ も上三角行列であり，その対角成分は ${\gamma }_1^k,{\gamma }_2^k,{\gamma }_3^k$ となる．
したがって，$e^T$ も対角成分が $e^{{\gamma }_1},e^{{\gamma }_2},e^{{\gamma }_3}$ の上三角行列となる．
行列式は相似変換において不変である性質を用いると，

$$\begin{array}{rl}\det \left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{C}^k\right)& =\det (e^C)\\ & =\det (P{e}^T{P}^{-1})\\ & =\det (P)\det (e^T)\det (P^{-1})\\ & =\det (e^T)\end{array}$$

上三角行列の行列式はその対角成分の積に等しいため，

$$\det (e^T)=e^{{\gamma }_1}{e}^{{\gamma }_2}{e}^{{\gamma }_3}=e^{{\gamma }_1+{\gamma }_2+{\gamma }_3}$$
以上より，与えられた等式が成立することが示された． (証明終)

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第一题是一道关于马尔可夫矩阵的经典计算题，矩阵列和为1这一性质保证了它必然有一个特征值为1，且根据迹和行列式可以快速写出另一个特征值。在求矩阵的高次幂极限时，利用对角化将矩阵拆分成相似对角阵的形式是标准做法，并且因为另一个特征值的绝对值严格小于1，其高次幂趋于零矩阵，从而简化了极限情况下的计算过程。第二题考察的是实对称矩阵二次型中的瑞利商性质，任意向量都可以用标准正交特征基底展开，代入二次型后就能明确观察到特征值对应着瑞利商的极值边界，通过附加正交约束可以依次提取出次小特征值。第三题则是矩阵论概念的延展，第一小问其实是考查特征多项式的系数与其主子式和之间的关系，可以直接对比降幂展开式与因式分解式的系数；第二小问利用矩阵指数函数的相似不变性，把复杂的矩阵幂级数求和转化为对角线元素标量的幂级数求和，进而运用指数函数的性质轻松得出结果。```