0202-2022 东新复 数学 P131

常微分方程 微分积分

以下の問に答えよ. 全ての定数と変数は実数, 関数は実関数とする.
導出の過程を省略し, 答えのみ示せ.

(問1) 関数 $y(x)$ が満たす次の微分方程式を考える.

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=f(x)$$
(1) $f(x)=0$ のときの解を求めよ. 任意定数として $C_1,C_2$ を用いること.
(2) $f(x)={\mathrm{e}}^{2x}$ のときの解を求めよ. $\mathrm{e}$ は自然対数の底である.

(問2) 関数 $y(x)$ が満たす次の微分方程式を考える.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x+y-1}{x+y+1}$$
(1) $x+y=u$ と変数変換するとき, $x$ と $u$ が満たす, $y$ を含まない微分方程式を求めよ.
(2) 微分方程式を解いて, $x=f(u)$ を満たす関数 $f(u)$ を求めよ. 任意定数として $C$ を用いること.

(問3) 次の不定積分を求め, 空欄に入る式を書け. $a$ は $0$ でない定数である.

$$\int {\mathrm{e}}^x\sin ax\mathrm{d}x=\square (\sin ax-a\cos ax)$$

(問4) $xy$ 直交座標系上の以下の方程式によって表される楕円を考える. $a,b$ は $0$ でない正の定数である.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
(1) この楕円の接線の方程式を求めよ. ただし接点の座標を変数 $\theta$ を用いて $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ とおく.
(2) この接線が $x$ 軸, $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $\mathrm{A},\mathrm{B}$ とする. 線分 $\mathrm{AB}$ の長さの最小値を求めよ.

(問5) 問4の楕円で囲まれた領域 $\mathrm{D}$ における以下の重積分を考える.

$${\iint }_{\mathrm{D}}(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
(1) 変数 $r,\theta$ を用いて以下の変数変換を行うときのヤコビアンを求めよ.
$$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$$
(2) 上の重積分を計算せよ.

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解答：

(問1)
(1) 特性方程式は ${\lambda }^2+3\lambda +2=0\Rightarrow (\lambda +1)(\lambda +2)=0\Rightarrow \lambda =-1,-2$.

$$\boxed{y(x)=C_1{\mathrm{e}}^{-x}+C_2{\mathrm{e}}^{-2x}}$$

(2) 特解を $y_p(x)=A{\mathrm{e}}^{2x}$ とおく.
$4A{\mathrm{e}}^{2x}+6A{\mathrm{e}}^{2x}+2A{\mathrm{e}}^{2x}={\mathrm{e}}^{2x}\Rightarrow 12A=1\Rightarrow A=\frac{1}{12}$.

$$\boxed{y(x)=C_1{\mathrm{e}}^{-x}+C_2{\mathrm{e}}^{-2x}+\frac{1}{12}{\mathrm{e}}^{2x}}$$

(問2)
(1) $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1+\frac{u-1}{u+1}=\frac{2u}{u+1}$.

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{2u}{u+1}}$$

(2) $\frac{u+1}{2u}\mathrm{d}u=\mathrm{d}x\Rightarrow \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2u}\right)\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$.
積分して, $\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\ln |u|=x+C$.

$$\boxed{x=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\ln |u|-C}$$

(問3)
部分積分を用いる.

$$\begin{array}{rl}I& =\int {\mathrm{e}}^x\sin ax\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^x\sin ax-a\int {\mathrm{e}}^x\cos ax\mathrm{d}x\\ & ={\mathrm{e}}^x\sin ax-a\left({\mathrm{e}}^x\cos ax+a\int {\mathrm{e}}^x\sin ax\mathrm{d}x\right)\\ & ={\mathrm{e}}^x(\sin ax-a\cos ax)-a^{2}I\end{array}$$
$$(1+a^2)I={\mathrm{e}}^x(\sin ax-a\cos ax)\Rightarrow I=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+a^2}(\sin ax-a\cos ax)$$
$$\boxed{\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+a^2}}$$

(問4)
(1)

$$\boxed{\frac{\cos \theta }{a}x+\frac{\sin \theta }{b}y=1}$$

(2) 交点は $\mathrm{A}\left(\frac{a}{\cos \theta },0\right)$, $\mathrm{B}\left(0,\frac{b}{\sin \theta }\right)$.

$${\mathrm{AB}}^2=\frac{a^2}{{\cos }^2\theta }+\frac{b^2}{{\sin }^2\theta }=a^2(1+{\tan }^2\theta )+b^2\left(1+\frac{1}{{\tan }^2\theta }\right)=a^2+b^2+a^2{\tan }^2\theta +\frac{b^2}{{\tan }^2\theta }$$
相加相乗平均の不等式より, $a^2{\tan }^2\theta +\frac{b^2}{{\tan }^2\theta }\ge 2ab$.
よって, ${\mathrm{AB}}^2\ge a^2+b^2+2ab=(a+b{)}^2$. 最小値は $a+b$.
$$\boxed{a+b}$$

(問5)
(1)

$$\begin{array}{rl}J& =\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}a\cos \theta & -ar\sin \theta \\ b\sin \theta & br\cos \theta \end{array}\right)\\ & =abr{\cos }^2\theta -(-abr{\sin }^2\theta )=abr\end{array}$$
$$\boxed{abr}$$

(2)
領域 $\mathrm{D}$ は $0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi$ に対応する.

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{\mathrm{D}}(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1(a^2{r}^2{\cos }^2\theta +b^2{r}^2{\sin }^2\theta )abr\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & =ab{\int }_0^{2\pi }(a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta )\mathrm{d}\theta {\int }_0^1{r}^3\mathrm{d}r\\ & =ab{\int }_0^{2\pi }\left(a^2\frac{1+\cos 2\theta }{2}+b^2\frac{1-\cos 2\theta }{2}\right)\mathrm{d}\theta \cdot {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^1\\ & =\frac{ab}{4}{\left[\frac{a^2+b^2}{2}\theta +\frac{a^2-b^2}{4}\sin 2\theta \right]}_0^{2\pi }\\ & =\frac{ab}{4}\cdot \pi (a^2+b^2)=\frac{\pi ab(a^2+b^2)}{4}\end{array}$$
$$\boxed{\frac{\pi ab(a^2+b^2)}{4}}$$

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本题涉及常微分方程与多元微积分的常见计算。第一题是二阶常系数线性微分方程，齐次方程通过特征方程求基本解系，非齐次方程通过待定系数法求特解。第二题通过变量代换将原本的方程转化为可分离变量的方程。第三题考察利用分部积分法计算指数函数与三角函数乘积的积分，通常需要连续使用两次分部积分构造原积分的等式。第四题中椭圆的切线方程是标准公式，求线段长度最小值的过程中利用相加相乘平均不等式可以简化计算过程，当然也可以求导寻找极值。第五题是二重积分的计算，由于积分区域是椭圆，使用广义极坐标变换是非常自然的选择，在计算雅可比行列式时注意各项符号，最后的积分计算利用三角函数的半角公式降次即可。题目特别要求只写答案，因此推导过程需要在草稿纸上完成，最终作答时只填入化简后的结果。