0201-2021 东新复 数学 P130

微分积分 线性代数 常微分方程

以下の各問に答えよ．
ただし，以下に与えられるすべての定数，変数は実数，関数は実関数であるとする．

(問1) $xy$ 平面上の直線 $\ell :y=ax+b$ を考える．ただし $a$ と $b$ は実数である．
(i) $q$ を実数とする．点 $(0,q)$ と直線との距離が $2/\sqrt{a^2+1}$ であった．このときの $q$ の値を求めよ．
(ii) $p$ を実数とする．$\ell$ を3点 $(1,0),(0,-1),(2,p)$ に対する最小二乗法による近似直線であるとする．$a,b$ を $p$ を用いて表せ．
(iii) (ii) で求めた近似直線が $p$ によらず通過する点を求めよ．

(問2) 以下の逆行列 $A^{-1}$ をもつ行列 $A$ および直交座標空間上のベクトル $\mathbf{a},\mathbf{x}$ を考える．

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 3& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ -3& 1& 3\\ 6& -2& 1\end{array}\right),\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right).$$

また，${\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x}=1$ を満たす点 $\mathbf{x}$ 全体の集合を平面 $S$ とする．ただし $\top$ は転置を表す．
(i) 線形写像 $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ による $S$ の像を $S^{\prime }=\{{\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}:\mathbf{x}\in S\}$ とする．
平面 $S^{\prime }$ を方程式 ${\mathbf{b}}^{\top }{\mathbf{x}}^{\prime }=1$ で記述するとき，$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3{)}^{\top }$ を求めよ．
(ii) 原点から $S^{\prime }$ への垂線の足の座標を求めよ．
(iii) $c>0$ に対し，3次元の楕円体として ${\mathbf{x}}^{\top }{A}^{\top }A\mathbf{x}=c$ を満たす点 $\mathbf{x}$ の集合 $T$ を考える．$T$ が $S$ に接するときの $c$ の値を求めよ．

(問3) 関数 $f(y)$ を $f(y)=1-\frac{1}{4}{y}^2$ とする．
(i) $\frac{1}{f(y)}=\frac{A}{1+\frac{y}{2}}+\frac{B}{1-\frac{y}{2}}$ ($y\ne \pm 2$) と部分分数分解したときの定数 $A,B$ を求めよ．
(ii) 微分方程式 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(y)$ の一般解を求めよ．任意定数として $C$ を用いること．

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解答：

(問1)
(i)
直線 $\ell$ の方程式は $ax-y+b=0$
点 $(0,q)$ との距離 $d$ は

$$d=\frac{|a\cdot 0-q+b|}{\sqrt{a^2+(-1{)}^2}}=\frac{|b-q|}{\sqrt{a^2+1}}$$
$$\frac{|b-q|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{a^2+1}}$$
$$|b-q|=2$$
$$b-q=\pm 2$$
$$\boxed{q=b\mp 2}$$

(ii)
残差の平方和 $E$ は

$$E(a,b)=(a\cdot 1+b-0{)}^2+(a\cdot 0+b-(-1){)}^2+(a\cdot 2+b-p{)}^2$$
$$E(a,b)=(a+b{)}^2+(b+1{)}^2+(2a+b-p{)}^2$$
$\frac{\partial E}{\partial a}=0,\frac{\partial E}{\partial b}=0$ より
$$\frac{\partial E}{\partial a}=2(a+b)+2\cdot 2(2a+b-p)=10a+6b-4p=0⟹5a+3b=2p$$
$$\frac{\partial E}{\partial b}=2(a+b)+2(b+1)+2(2a+b-p)=6a+6b+2-2p=0⟹3a+3b=p-1$$
これを解いて
$$2a=p+1⟹a=\frac{p+1}{2}$$
$$3b=p-1-3\left(\frac{p+1}{2}\right)=\frac{2p-2-3p-3}{2}=\frac{-p-5}{2}⟹b=\frac{-p-5}{6}$$
$$\boxed{a=\frac{p+1}{2},b=\frac{-p-5}{6}}$$

(iii)
近似直線の方程式は

$$y=\frac{p+1}{2}x+\frac{-p-5}{6}$$
$$6y=3(p+1)x-p-5$$
$$6y=3px+3x-p-5$$
$$p(3x-1)+(3x-5-6y)=0$$
これが任意の $p$ について成り立つので
$$3x-1=0⟹x=\frac{1}{3}$$
$$3\left(\frac{1}{3}\right)-5-6y=0⟹1-5-6y=0⟹6y=-4⟹y=-\frac{2}{3}$$
$$\boxed{\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)}$$

(問2)
(i)
$\mathbf{x}\in S$ より ${\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x}=1$
${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ より $\mathbf{x}=A^{-1}{\mathbf{x}}^{\prime }$

$${\mathbf{a}}^{\top }(A^{-1}{\mathbf{x}}^{\prime })=1$$
$$({\mathbf{a}}^{\top }{A}^{-1}){\mathbf{x}}^{\prime }=1$$
$${\mathbf{b}}^{\top }={\mathbf{a}}^{\top }{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\frac{1}{7}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ -3& 1& 3\\ 6& -2& 1\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 3\end{array}\right)$$
$$\boxed{\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}4/7\\ 1/7\\ 3/7\end{array}\right)}$$

(ii)
平面 $S^{\prime }$ の方程式は $\frac{4}{7}{x}_1^{\prime }+\frac{1}{7}{x}_2^{\prime }+\frac{3}{7}{x}_3^{\prime }=1⟺4x_1^{\prime }+x_2^{\prime }+3x_3^{\prime }=7$
法線ベクトルは $\mathbf{n}=(4,1,3{)}^{\top }$
垂線の足を $H$ とすると，原点から下ろした垂線なので $\overrightarrow{OH}=k\mathbf{n}=(4k,k,3k{)}^{\top }$
これが平面 $S^{\prime }$ 上にあるので

$$4(4k)+(k)+3(3k)=7$$
$$16k+k+9k=7$$
$$26k=7⟹k=\frac{7}{26}$$
$$\overrightarrow{OH}=\frac{7}{26}\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14/13\\ 7/26\\ 21/26\end{array}\right)$$
$$\boxed{\left(\frac{14}{13},\frac{7}{26},\frac{21}{26}\right)}$$

(iii)
楕円体 $T:{\mathbf{x}}^{\top }{A}^{\top }A\mathbf{x}=c$ は ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ とすると $S^{\prime }$ 空間で ${\mathbf{x}}^{\prime \top }{\mathbf{x}}^{\prime }=c$，すなわち原点中心，半径 $\sqrt{c}$ の球面となる。
平面 $S$ の像 $S^{\prime }$ は方程式 ${\mathbf{b}}^{\top }{\mathbf{x}}^{\prime }=1$ を持つ。
$T$ が $S$ に接する条件は，$S^{\prime }$ 空間で球面と平面が接することと同値である。
原点と平面 $S^{\prime }$ の距離 $d^{\prime }$ は

$$d^{\prime }=\frac{|-1|}{\sqrt{(4/7{)}^2+(1/7{)}^2+(3/7{)}^2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{16+1+9}}{7}}=\frac{7}{\sqrt{26}}$$
球面と平面が接するので $\sqrt{c}=d^{\prime }$
$$\sqrt{c}=\frac{7}{\sqrt{26}}⟹c=\frac{49}{26}$$
$$\boxed{c=\frac{49}{26}}$$

(問3)
(i)

$$\frac{1}{1-\frac{1}{4}{y}^2}=\frac{A}{1+\frac{y}{2}}+\frac{B}{1-\frac{y}{2}}$$
$$1=A\left(1-\frac{y}{2}\right)+B\left(1+\frac{y}{2}\right)$$
$$1=(A+B)+\frac{B-A}{2}y$$
$$A+B=1,B-A=0⟹A=B=\frac{1}{2}$$
$$\boxed{A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}}$$

(ii)

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-\frac{1}{4}{y}^2$$
$$\int \frac{1}{1-\frac{1}{4}{y}^2}\mathrm{d}y=\int \mathrm{d}x$$
$$\int \left(\frac{1/2}{1+y/2}+\frac{1/2}{1-y/2}\right)\mathrm{d}y=x+C_1$$
$$\ln \left|1+\frac{y}{2}\right|-\ln \left|1-\frac{y}{2}\right|=x+C_1$$
$$\ln \left|\frac{1+y/2}{1-y/2}\right|=x+C_1$$
$$\ln \left|\frac{2+y}{2-y}\right|=x+C_1$$
$$\frac{2+y}{2-y}=\pm e^{C_1}{e}^x=C{e}^x$$
$$2+y=C{e}^x(2-y)$$
$$y(1+C{e}^x)=2C{e}^x-2$$
$$\boxed{y=\frac{2(C{e}^x-1)}{C{e}^x+1}}$$

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本题考查了大学数学的综合应用。第一题主要考查解析几何中的点到直线的距离公式以及最小二乘法的基本原理，通过构建残差平方和函数并求偏导数找到极小值点，进而求得近似直线的参数。第二题是线性代数与空间解析几何的结合，利用矩阵变换研究平面和二次曲面（椭球）在像空间中的性质，将复杂的椭球相切问题通过变量代换转化为简单的球面与平面相切问题，大大简化了计算。第三题是求解一阶可分离变量常微分方程，首先使用待定系数法将有理函数拆分为部分分数，然后分别积分并利用对数的性质化简，最终求出以显式表达的通解。