0200-2021 东新复 数学 P129

微分积分 线性代数 常微分方程

以下の各問に答えよ．
ただし，以下に与えられるすべての定数，変数は実数，関数は実関数であるとする．

(問1) 直交座標系を構成する $xyz$ 空間上の曲面 $z=a{x}^2+y^2+2xy-2x$ を考える．ただし $a\ne 0$ とする．
(i) この曲面に対する $(x,y,z)=(1,0,a-2)$ における接平面を $z=rx+py+s$ とする．$r,p,s$ を求めよ．
(ii) (i)で求めた接平面が $x$ 軸と交点を持った．このときの $a$ の条件を求めよ．
(iii) (ii) の条件を満たす接平面と，原点との距離が $\frac{1}{\sqrt{5}}$ であった．このときの $a$ を求めよ．

(問2) 以下の行列とベクトルを考える．

$$D=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 1\end{array}\right),A_t=D+t\mathbf{v}{\mathbf{v}}^{\top },\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right).$$

ただし，$t$ は正の実数，$\top$ は転置を表す．
(i) $A_t$ の全ての要素の和を $t$ を用いて表せ．
(ii) $b_{ij}$ を $A_t^{-1}$ の第 $(i,j)$ 成分とする．$b_{11}$ および $b_{33}$ を $t$ を用いて表せ．
(iii) $\mathbf{x}$ を $t$ によらない定ベクトルとする．$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathbf{x}}^{\top }{A}_t^{-1}\mathbf{x}=0$ が成り立つ $\mathbf{x}$ の必要十分条件を求めよ．

(問3) 関数 $f(y)$ を $f(y)=y-y^2$ とする．
(i) $\frac{1}{f(y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{1-y}$ ($y\ne 0,1$) と部分分数分解したときの定数 $A,B$ を求めよ．
(ii) 微分方程式 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(y)$ の一般解を求めよ．任意定数として $C$ を用いること．

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解答：

(問1)
(i)

$$z(x,y)=a{x}^2+y^2+2xy-2x$$
$$\frac{\partial z}{\partial x}=2ax+2y-2,\frac{\partial z}{\partial y}=2y+2x$$
$$\frac{\partial z}{\partial x}(1,0)=2a-2,\frac{\partial z}{\partial y}(1,0)=2$$
$$z-(a-2)=(2a-2)(x-1)+2(y-0)$$
$$z=(2a-2)x+2y-a$$
$$\boxed{r=2a-2,p=2,s=-a}$$

(ii)

$$(2a-2)x-a=0$$
$$x=\frac{a}{2a-2}$$
$$\boxed{a\ne 1}$$

(iii)

$$(2a-2)x+2y-z-a=0$$
$$\frac{|-a|}{\sqrt{(2a-2{)}^2+2^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$5a^2=4a^2-8a+9$$
$$a^2+8a-9=0$$
$$(a+9)(a-1)=0$$
$$\boxed{a=-9}$$

(問2)
(i)

$$A_t=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 1\end{array}\right)(031)=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 2+9t& 3t\\ 0& 3t& t\end{array}\right)$$
$$\sum _{i,j}(A_t{)}_{ij}=5+(2+9t)+3t+3t+t$$
$$\boxed{16t+7}$$

(ii)

$$\det \left(\begin{array}{cc}2+9t& 3t\\ 3t& t\end{array}\right)=2t$$
$$A_t^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{5}& 0& 0\\ 0& \frac{t}{2t}& \frac{-3t}{2t}\\ 0& \frac{-3t}{2t}& \frac{2+9t}{2t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{5}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\\ 0& -\frac{3}{2}& \frac{2+9t}{2t}\end{array}\right)$$
$$\boxed{b_{11}=\frac{1}{5},b_{33}=\frac{2+9t}{2t}}$$

(iii)

$${\mathbf{x}}^{\top }{A}_t^{-1}\mathbf{x}=\frac{1}{5}{x}_1^2+\frac{1}{2}{x}_2^2-3x_2{x}_3+\frac{2+9t}{2t}{x}_3^2$$
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathbf{x}}^{\top }{A}_t^{-1}\mathbf{x}=\frac{1}{5}{x}_1^2+\frac{1}{2}{x}_2^2-3x_2{x}_3+\frac{9}{2}{x}_3^2=0$$
$$\frac{1}{5}{x}_1^2+\frac{1}{2}(x_2-3x_3{)}^2=0$$
$$\boxed{x_1=0\wedge x_2=3x_3}$$

(問3)
(i)

$$\frac{1}{y(1-y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{1-y}$$
$$1=A(1-y)+By$$
$$\boxed{A=1,B=1}$$

(ii)

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y(1-y)$$
$$\int \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)\mathrm{d}y=\int \mathrm{d}x$$
$$\ln \left|\frac{y}{1-y}\right|=x+C_1$$
$$\frac{y}{1-y}=\pm e^{C_1}{e}^x=C{e}^x$$
$$\boxed{y=\frac{C{e}^x}{1+C{e}^x}}$$

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本题考查了大学数学的三个基础领域。第一题是多元函数的微积分应用，核心在于通过偏导数计算二元函数在特定点处的切平面方程，并结合空间解析几何中点到平面的距离公式来求解未知参数。第二题是线性代数中矩阵的计算与二次型理论的结合，利用分块对角矩阵的性质可以快速求得逆矩阵，最后的极限问题实际上是求解一个半正定二次型等于零时的条件，即转化为各项平方和为零来得出变量间的关系。第三题是常微分方程中典型的可分离变量方程，先利用待定系数法将有理函数进行部分分数分解，然后两边积分即可解出通解。需要注意的是任意常数在对数形式和指数形式转换时的合并与重新定义。