0198-2020 东新复 机械 P123

物理 力学 运动学 牛顿第二定律 动量定理 能量守恒定律 常微分方程

水平な床と水平な天井の間で，鉛直方向にのみ運動する質量$m$の質点を考える．図1に示すように，鉛直上向きに$y$軸をとり，床の位置を$y=0$，天井の位置を$y=H$とする．質点と床および天井の間の反発係数は1（完全弾性衝突）とし，重力加速度の大きさを$g$とする．

(問1) 静止している質点を位置$y=H/2$から落下させる．空気抵抗は無視できるものとし，以下の問に答えよ．
(1) 質点が運動を始めてから，最初に床に到達するまでの所要時間$T$と，衝突の際に質点が床に与える力積$I$を求めよ．
(2) 質点が鉛直方向の往復運動を十分長時間継続した場合，質点が床に与える力の時間平均値を求めよ．

(問2) 質点を初速度$dy/dt=-V_0$で位置$y=H/2$から落下させる．空気抵抗は無視できるものとし，以下の問に答えよ．
(1) 質点が床で跳ね返った後，天井に到達するための条件を求めよ．
(2) (1)の条件が成立した状態で，質点が鉛直方向の往復運動を十分長時間継続した場合，質点が床および天井に与える力の時間平均値をそれぞれ求めよ．

(問3) 次に，速度に比例する空気抵抗$-k(dy/dt)$が質点に働くとする．ただし$k$は正の定数である．時刻$t=0$に，静止している質点をある位置から落下させると，時刻$t=m/k$に床に最初に到達した．自然対数の底を$e$とし，以下の問に答えよ．
(1) 質点の運動方程式を示せ．
(2) 質点が床に最初に到達したときの速度を求めよ．
(3) 質点が床で最初に跳ね返った後，最も高い位置に到達する時刻を求めよ．

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解答：

(問1)
(1)
質点の位置$y(t)$は，

$$y(t)=\frac{H}{2}-\frac{1}{2}g{t}^2$$
$y(T)=0$より，
$$T=\sqrt{\frac{H}{g}}$$
衝突直前の速度を$v_1$，衝突直後の速度を$v_2$とすると，
$$v_1=-gT=-\sqrt{gH},v_2=-v_1=\sqrt{gH}$$
質点が受ける力積は$\Delta p=m{v}_2-m{v}_1=2m\sqrt{gH}$（上向き）であるから，質点が床に与える力積$I$の大きさは，
$$\boxed{T=\sqrt{\frac{H}{g}},I=2m\sqrt{gH}\text{（下向き）}}$$
(2)
質点が床に衝突してから再び床に衝突するまでの時間は$2T$である．この間に床が受ける力積は$I$に等しいため，力の時間平均値$\bar{F}$は，
$$\bar{F}=\frac{I}{2T}=\frac{2m\sqrt{gH}}{2\sqrt{H/g}}=mg$$
$$\boxed{mg}$$

(問2)
(1)
力学的エネルギー保存則より，床に衝突する直前の速さを$v_f$とすると，

$$\frac{1}{2}m{v}_f^2=\frac{1}{2}m{V}_0^2+mg\frac{H}{2}$$
完全弾性衝突であるから，衝突直後の速さも$v_f$である．天井に到達するためには，天井の高さ$y=H$での力学的エネルギーが$mgH$以上である必要がある．
$$\frac{1}{2}m{v}_f^2\ge mgH⟹\frac{1}{2}m{V}_0^2+mg\frac{H}{2}\ge mgH$$
$$\boxed{V_0\ge \sqrt{gH}}$$
(2)
床および天井での衝突時の速さをそれぞれ$v_f,v_c$とすると，
$$v_f=\sqrt{V_0^2+gH},v_c=\sqrt{V_0^2-gH}$$
床から天井まで移動する時間を$t_{up}$とすると，
$$v_c=v_f-g{t}_{up}⟹t_{up}=\frac{v_f-v_c}{g}$$
1回の往復運動（床から出発し再び床に戻るまで）の周期は$2t_{up}$である．この1周期の間に床および天井に与える力積はそれぞれ$2m{v}_f,2m{v}_c$であるから，力の時間平均値${\bar{F}}_f,{\bar{F}}_c$は，

$$\begin{array}{rl}{\bar{F}}_f& =\frac{2m{v}_f}{2t_{up}}=\frac{mg{v}_f}{v_f-v_c}=\frac{mg\sqrt{V_0^2+gH}}{\sqrt{V_0^2+gH}-\sqrt{V_0^2-gH}}\\ & =\frac{mg\sqrt{V_0^2+gH}\left(\sqrt{V_0^2+gH}+\sqrt{V_0^2-gH}\right)}{\left(V_0^2+gH\right)-\left(V_0^2-gH\right)}\\ & =\frac{m}{2H}\left(V_0^2+gH+\sqrt{V_0^4-g^2{H}^2}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\bar{F}}_c& =\frac{2m{v}_c}{2t_{up}}=\frac{mg{v}_c}{v_f-v_c}=\frac{mg\sqrt{V_0^2-gH}}{\sqrt{V_0^2+gH}-\sqrt{V_0^2-gH}}\\ & =\frac{mg\sqrt{V_0^2-gH}\left(\sqrt{V_0^2+gH}+\sqrt{V_0^2-gH}\right)}{2gH}\\ & =\frac{m}{2H}\left(V_0^2-gH+\sqrt{V_0^4-g^2{H}^2}\right)\end{array}$$

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{床: }\frac{m}{2H}\left(V_0^2+gH+\sqrt{V_0^4-g^2{H}^2}\right)\\ & \text{天井: }\frac{m}{2H}\left(V_0^2-gH+\sqrt{V_0^4-g^2{H}^2}\right)\end{array}}$$

(問3)
(1)

$$\boxed{m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-mg-k\frac{dy}{dt}}$$
(2)
速度$v=dy/dt$とすると，運動方程式は$m(dv/dt)=-mg-kv$となる．初期条件$v(0)=0$でこれを解くと，
$$\frac{dv}{g+\frac{k}{m}v}=-dt⟹\ln \left|g+\frac{k}{m}v\right|=-\frac{k}{m}t+C$$
$t=0$で$v=0$より$C=\ln g$であるから，
$$v(t)=\frac{mg}{k}\left(e^{-\frac{k}{m}t}-1\right)$$
$t=m/k$のとき，
$$\boxed{v\left(\frac{m}{k}\right)=\frac{mg}{k}\left(e^{-1}-1\right)}$$
(3)
床で跳ね返った直後（時刻$t=m/k$）の速度を$v_0^{\prime }$とすると，
$$v_0^{\prime }=-v\left(\frac{m}{k}\right)=\frac{mg}{k}\left(1-e^{-1}\right)$$
跳ね返ってからの経過時間を$\tau =t-m/k$とすると，この期間の速度$v_1(\tau )$は運動方程式より
$$v_1(\tau )=\left(v_0^{\prime }+\frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{k}{m}\tau }-\frac{mg}{k}$$
最も高い位置に到達するとき$v_1(\tau )=0$となるから，
$$\left(\frac{mg}{k}(1-e^{-1})+\frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{k}{m}\tau }=\frac{mg}{k}$$
$$(2-e^{-1})e^{-\frac{k}{m}\tau }=1⟹e^{\frac{k}{m}\tau }=2-e^{-1}$$
$$\tau =\frac{m}{k}\ln (2-e^{-1})$$
求める時刻は，
$$\boxed{t=\frac{m}{k}+\tau =\frac{m}{k}\left\{1+\ln (2-e^{-1})\right\}}$$

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本题是一道典型的经典力学综合题，主要考察了运动学、牛顿第二定律、动量定理、能量守恒定律以及常微分方程的求解。
在第一问中，物体进行简单的自由落体和完全弹性碰撞。通过基本的匀加速直线运动公式可以求得下落时间和落地速度。计算力积时需要注意动量的矢量性，碰撞前后的速度方向相反。关于平均力，利用动量定理，将其转化为一个周期内总力积除以时间即可，结果恰好等于物体的重力，这也符合长时间尺度下宏观受力的平衡概念。
第二问引入了初始速度，并增加了天花板的碰撞限制。判断能否到达天花板最直接的方法是利用力学能守恒定律，只要在碰撞后底部的动能足以克服重力势能上升到天花板高度即可。计算上下挡板平均力时，首先求得物体在两个高度处的速度，然后通过运动学公式计算单程时间，进而得到运动周期。两个平均力的差值依然满足支撑系统重力的条件，这可以作为计算结果的一个有效检验。
第三问加入了与速度成正比的空气阻力，使得运动方程变为一个一阶非齐次线性常微分方程。通过分离变量法求解该微分方程，并代入初始静止的条件，可以得到速度随时间变化的指数函数解析式。由于给定了首次落地的具体时间，直接代入即可获得碰前速度。碰撞后，物体的初速度大小不变方向反转，再次作为新的初值代入包含空气阻力的运动方程中，令速度为零即可解出上升段所经历的时间。最后将两段时间相加得到最终对应的总时刻。需要注意的是时间变量的相对选取和坐标系正负方向的统一。