0197-2020 东新复 数学 P121

概率统计 概率论 正态分布

表1，2に示す柏キャンパスまでの2つの通学路を考える．徒歩，自転車，電車，バスの所要時間は，表1，2に示す平均と標準偏差をもつ正規分布に従い，これらはそれぞれ互いに独立と仮定する．標準正規分布に従う確率変数$X_0$が$x_0$以上である確率を表3に示す．平均$\mu$，標準偏差$\sigma >0$の正規分布に従う確率変数$X$の確率密度関数$f_X$，モーメント母関数$M_X$を

$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right),M_X(t)={\mathbb{E}}_X[\exp (tX)]$$
とする．ここで${\mathbb{E}}_X$は確率変数$X$に関する期待値であり，$t$は実数である．
以下の問に答えよ．ただし，$\sqrt{2}\approx 1.4,\sqrt{3}\approx 1.7,\sqrt{5}\approx 2.2,\sqrt{7}\approx 2.6$を用いてもよい．

(問1) $Z=\alpha X+\beta$が標準正規分布に従うとき，$\alpha ,\beta$を$\mu ,\sigma$を用いて表せ．

(問2) 確率変数$X_i(i=1,2)$が，平均${\mu }_i$，標準偏差${\sigma }_i>0$の正規分布にそれぞれ独立に従うとする．実数$a,b$に対して$M_{a{X}_1+b{X}_2}(t)=\exp (A{t}^2+Bt+C)$を満たす$A,B,C$を求めよ．

(問3) 通学路1の所要時間が75分以上である確率が含まれる区間を表4から選べ．

(問4) 通学路1を使うとする．99%の確率で10時までに柏キャンパスに着くための出発時刻を求めよ．

(問5) 通学路1の所要時間が通学路2の所要時間よりも25分以上長くなる確率が含まれる区間を表4から選べ．

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解答：

(問1)

$$\mathbb{E}[Z]=\alpha \mu +\beta =0$$
$$\mathbb{V}[Z]={\alpha }^2{\sigma }^2=1$$
$$\boxed{\alpha =\pm \frac{1}{\sigma },\beta =\mp \frac{\mu }{\sigma }\text{ （複号同順）}}$$

(問2)

$$Y=a{X}_1+b{X}_2\sim \mathcal{N}(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)$$
$$M_Y(t)=\exp \left((a{\mu }_1+b{\mu }_2)t+\frac{1}{2}(a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)t^2\right)$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}A& =\frac{1}{2}(a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)\\ B& =a{\mu }_1+b{\mu }_2\\ C& =0\end{array}}$$

(問3)
通学路1の所要時間 $T_1\sim \mathcal{N}(15+25+25,2^2+4^2+5^2)=\mathcal{N}(65,45)$

$$z_0=\frac{75-65}{\sqrt{45}}=\frac{10}{3\sqrt{5}}$$
$$z_0^2=\frac{100}{45}=\frac{20}{9}\approx 2.222$$
$$1.44^2=2.0736,1.65^2=2.7225$$
$$1.44<z_0<1.65⟹\mathrm{Pr}\{X_0\ge 1.65\}<\mathrm{Pr}\{X_0\ge z_0\}<\mathrm{Pr}\{X_0\ge 1.44\}$$
$$\boxed{5.0\text{–}7.5\%}$$

(問4)

$$\mathrm{Pr}\{T_1\le t_0\}\ge 0.99⟹\mathrm{Pr}\left\{\frac{T_1-65}{\sqrt{45}}\ge \frac{t_0-65}{3\sqrt{5}}\right\}\le 0.01$$
$$\frac{t_0-65}{3\sqrt{5}}\ge 2.33⟹t_0\ge 65+6.99\sqrt{5}\approx 65+6.99\times 2.2=80.378\text{ (分)}$$
10時の80.378分（80分22.68秒）前を求める．
$$\boxed{8\text{時}39\text{分}37\text{秒}}$$
（※小数部分の処理により $8\text{時}39\text{分}$ 等の表記も可）

(問5)
通学路2の所要時間 $T_2\sim \mathcal{N}(25+15+15,4^2+8^2+8^2)=\mathcal{N}(55,144)$
$W=T_1-T_2\sim \mathcal{N}(65-55,45+144)=\mathcal{N}(10,189)$

$$z_0=\frac{25-10}{\sqrt{189}}=\frac{15}{3\sqrt{21}}=\frac{5}{\sqrt{21}}$$
$$z_0^2=\frac{25}{21}\approx 1.190$$
$$1.00^2=1,1.28^2=1.6384$$
$$1.00<z_0<1.28⟹\mathrm{Pr}\{X_0\ge 1.28\}<\mathrm{Pr}\{X_0\ge z_0\}<\mathrm{Pr}\{X_0\ge 1.00\}$$
$$\boxed{10\text{–}16\%}$$

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本题主要考察了正态分布的线性组合性质、矩母函数以及标准正态分布表的应用。第一问基于标准正态分布的定义，通过平移和缩放将一般正态变量转化为标准正态变量，利用期望和方差公式可直接得到参数的关系。第二问利用了独立正态变量线性组合仍服从正态分布的性质，结合正态分布矩母函数的解析形式，通过比对指数部分二次式的系数可以直接得出答案。第三问和第五问要求计算特定概率，其核心思路都是先求出对应路径时间总和及差值变量的期望和方差，接着将其标准化，再通过计算标准化数值的平方并与已知概率表中临界值的平方进行大小比较，从而准确地将所求概率定位在给定的选项区间内。计算过程中利用平方值进行比较可以有效避免对无理数的繁琐估算。第四问则是概率计算的逆向问题，已知累计概率反推分位点，利用表中99%对应单侧1%的临界值2.33求出路上所需的总时间极值，最后从目标到达时间倒推得出最晚的出发时刻。