0196-2020 东新复 数学 P119

高等数学 复变函数 数学物理方程

$a>0,x,y,X,Y$を実数，$e$を自然対数の底，$i$を虚数単位とする．以下の問に答えよ．

(問1) 以下を示せ．

$$\underset{X\to \infty }{\lim }\left|{\int }_0^Y{e}^{-a(X+iy{)}^2}dy\right|=0(1)$$

(問2) 図1の積分経路による周回積分を利用し，以下の積分を求めよ．

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a(x+iY{)}^2}dx$$
式(1)および ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$ を用いてよい．

2変数実関数$u(x,t)$についての以下の偏微分方程式を考える．ただし，$t>0$は実数である．また，$u(x,t)\to 0,\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\to 0(|x|\to \infty )$を満たすとする．

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(2)$$

(問3) 実数$k$を用いて，$u(x,t)$のフーリエ変換を

$$U(k,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x,t)e^{-ikx}dx$$
と定義する．式(2)をフーリエ変換し，変数$t$に関する$U$の常微分方程式として表せ．

(問4) $u(x,0)=\delta (x-1)$の条件のもと，(問3)で求めた常微分方程式を解いて$U(k,t)$を求めよ．ここでデルタ関数$\delta (x)$は以下で定義される．

$$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{ikx}dk$$

(問5) $U(k,t)$の逆フーリエ変換は

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }U(k,t)e^{ikx}dk$$
で与えられる．(問4)の条件での$u(x,t)$を求めよ．

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解答：

(問1)

$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_0^Y{e}^{-a(X+iy{)}^2}dy\right|& \le {\int }_0^Y\left|e^{-a(X^2-y^2+2iXy)}\right|dy\\ & ={\int }_0^Y{e}^{-a(X^2-y^2)}dy\\ & =e^{-a{X}^2}{\int }_0^Y{e}^{a{y}^2}dy\end{array}$$

$$a>0\text{ より }\underset{X\to \infty }{\lim }{e}^{-a{X}^2}=0$$
$${\int }_0^Y{e}^{a{y}^2}dy\text{ は定数であるから，}$$
$$\underset{X\to \infty }{\lim }{e}^{-a{X}^2}{\int }_0^Y{e}^{a{y}^2}dy=0$$
$$\text{はさみうちの原理より，}\underset{X\to \infty }{\lim }\left|{\int }_0^Y{e}^{-a(X+iy{)}^2}dy\right|=0\text{(証明終)}$$

(問2)
複素関数 $f(z)=e^{-a{z}^2}$ を，頂点 $-R,R,R+iY,-R+iY$ を結ぶ長方形の閉曲線$C$ に沿って積分する．

$$\text{コーシーの積分定理より，}{\oint }_C{e}^{-a{z}^2}dz=0$$
$${\int }_{-R}^R{e}^{-a{x}^2}dx+{\int }_0^Y{e}^{-a(R+iy{)}^2}idy+{\int }_R^{-R}{e}^{-a(x+iY{)}^2}dx+{\int }_Y^0{e}^{-a(-R+iy{)}^2}idy=0$$
$$R\to \infty \text{ の極限をとる．問1の結果より，}$$
$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^Y{e}^{-a(R+iy{)}^2}idy=0$$
$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_Y^0{e}^{-a(-R+iy{)}^2}idy=0$$
$$\text{したがって，}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx-{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a(x+iY{)}^2}dx=0$$
$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a(x+iY{)}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}}$$

(問3)

$$\text{式(2)の両辺を }x\text{ についてフーリエ変換する．}$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial u}{\partial t}{e}^{-ikx}dx=\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{\infty }u(x,t)e^{-ikx}dx=\frac{dU}{dt}$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}{e}^{-ikx}dx& ={\left[\frac{\partial u}{\partial x}{e}^{-ikx}\right]}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial u}{\partial x}(-ik)e^{-ikx}dx\\ & =0+ik\left({\left[u{e}^{-ikx}\right]}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }u(-ik)e^{-ikx}dx\right)\\ & =ik(0+ikU(k,t))\\ & =-k^{2}U(k,t)\end{array}$$

$$\boxed{\frac{dU}{dt}=-k^{2}U}$$

(問4)

$$t=0\text{ のとき，}$$
$$U(k,0)={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x-1)e^{-ikx}dx=e^{-ik}$$
$$\frac{dU}{dt}=-k^{2}U\text{ を解くと，}U(k,t)=C{e}^{-k^{2}t}(C\text{ は積分定数})$$
$$U(k,0)=C=e^{-ik}\text{ より，}$$
$$\boxed{U(k,t)=e^{-k^{2}t-ik}}$$

(問5)

$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-k^{2}t-ik}{e}^{ikx}dk$$
$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t{k}^2+i(x-1)k}dk$$
$$\text{指数部分を平方完成する．}$$
$$-t{k}^2+i(x-1)k=-t{\left(k-\frac{i(x-1)}{2t}\right)}^2-\frac{(x-1{)}^2}{4t}$$
$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{(x-1{)}^2}{4t}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t{\left(k-\frac{i(x-1)}{2t}\right)}^2}dk$$
$$\text{問2の結果において }a=t,\text{ 積分変数を }k,Y=-\frac{x-1}{2t}\text{ と見なすと，}$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t{\left(k-\frac{i(x-1)}{2t}\right)}^2}dk=\sqrt{\frac{\pi }{t}}$$
$$\boxed{u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{(x-1{)}^2}{4t}}}$$

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本题主要考察了复变函数的留数定理在计算实积分中的应用以及利用傅里叶变换求解偏微分方程的方法。第一问利用指数函数的性质和积分的绝对值不等式进行放缩，结合被积函数在无穷远处的极限行为，通过夹逼定理直接证明积分极值趋于零。第二问构造矩形积分回路并应用柯西积分定理，结合第一问的结论使得虚轴方向的路径积分在无穷远处消失，从而将带有虚数偏移量的高斯积分转化为标准高斯积分求得结果。第三问对热传导方程两边同时进行傅里叶变换，利用分部积分法和函数在无穷远处趋于零的边界条件，将对空间变量的偏导数转化为代数乘法，从而将偏微分方程化简为关于时间变量的一阶常微分方程。第四问利用狄拉克δ函数的筛选性质计算出初始条件在频域的具体表达形式，并代入常微分方程求出带有初始状态的指数衰减特解。第五问写出逆傅里叶变换的积分表达式，对指数部分关于积分变量进行配方处理后，提取出与积分变量无关的实数项作为系数，剩下的积分形式刚好对应于第二问中证明过的带虚数偏移量的高斯积分模型，直接代入已知结论即可得到热传导方程的基本解形式。