0195-2020 东新复 数学 P118

线性代数 空间解析几何

以下のような4次の正方行列

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$

を考え，$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^{\top }$を4次元実数ベクトル，すなわち$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4$とする．また，あるベクトル$\mathbf{n}\in {\mathbb{R}}^4$に直交し，原点を含む超平面を$P$とし，ある点$\mathbf{c}\in {\mathbb{R}}^4$を中心とする半径$a>0$の超球面を$S$とする．すなわち
超平面 $P=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4\mid {\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{x}=0\}$
超球面 $S=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4\mid \Vert \mathbf{x}-\mathbf{c}\Vert =a\}$
とする．ただし，$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2}$とし，$\Vert \mathbf{n}\Vert =1$である．また，$\top$は転置を表す．以下の問に答えよ．

(問1) $A$の固有値${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3<{\lambda }_4$と，対応する固有ベクトル${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3,{\mathbf{e}}_4$を求めよ．

(問2) $A\mathbf{x}$の集合$Q=\{A\mathbf{x}\mid \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4\}$は線形空間である．$Q$の次元と基底ベクトルを求めよ．ただし，基底ベクトルは互いに直交していなくてもよい．

(問3) $\mathbf{p}\in P$，$s\in S$とし，超平面$P$と超球面$S$の距離$g$を，$\Vert \mathbf{p}-\mathbf{s}\Vert$の最小値と定義する．すなわち

$$g=\underset{\mathbf{p}\in P,\mathbf{s}\in S}{\min }\Vert \mathbf{p}-\mathbf{s}\Vert$$
である．$g$を$\mathbf{n},\mathbf{c},a$を用いて表せ．

(問4) $\mathbf{n}=(1,0,0,0{)}^{\top }$，$\mathbf{c}=(1,1,1,1{)}^{\top }$，$a=1$とし，$\mathbf{x}$と$L=\{A\mathbf{p}\mid \mathbf{p}\in P\}\subset Q$との距離$d(\mathbf{x})$を，$\mathbf{x}$と$\mathbf{l}\in L$の間の距離の最小値として以下のように定義する．

$$d(\mathbf{x})=\underset{\mathbf{l}\in L}{\min }\Vert \mathbf{x}-\mathbf{l}\Vert$$
(1) $d(\mathbf{x})$を，$x_1,x_2,x_3,x_4$を用いて表せ．
(2) $\mathbf{s}\in S$とする．$d(\mathbf{s})$の最大値$\underset{\mathbf{s}\in S}{\max }d(\mathbf{s})$を求めよ．

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解答：

(問1)

$$\begin{array}{rl}\det (A-\lambda I)& =\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda & 0& 0& 0\\ 0& -\lambda & 1& 1\\ 0& 0& 1-\lambda & 1\\ 0& 1& 1& -\lambda \end{array}\right|\\ & =(1-\lambda )\{-\lambda (-\lambda (1-\lambda )-1)-(1-\lambda )\}\\ & =-\lambda (1-\lambda )(\lambda -2)(\lambda +1)=0\end{array}$$

$${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=0,{\lambda }_3=1,{\lambda }_4=2$$

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =-1,{\mathbf{e}}_1=c_1(0,1,1,-2{)}^{\top }\\ {\lambda }_2& =0,{\mathbf{e}}_2=c_2(0,-1,1,-1{)}^{\top }\\ {\lambda }_3& =1,{\mathbf{e}}_3=c_3(1,0,0,0{)}^{\top }\\ {\lambda }_4& =2,{\mathbf{e}}_4=c_4(0,1,1,1{)}^{\top }\\ & (c_1,c_2,c_3,c_4\text{は}0\text{でない任意の定数})\end{array}}$$

(問2)

$$\mathrm{rank}(A)=3⟹\dim (Q)=3$$
$$Q=\mathrm{Im}(A)$$

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{次元: }3\\ & \text{基底ベクトル: }\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\end{array}}$$

(問3)

$$\mathbf{p}\in P⟺{\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{p}=0$$
$$\mathbf{s}\in S⟺\Vert \mathbf{s}-\mathbf{c}\Vert =a$$
$$P\text{と}\mathbf{c}\text{の距離 }{d}_c=\frac{|{\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{c}|}{\Vert \mathbf{n}\Vert }=|{\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{c}|$$

$$\boxed{g=\max (0,|{\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{c}|-a)}$$

(問4)
(1)

$$P=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4\mid x_1=0\}$$
$$\mathbf{p}=(0,p_2,p_3,p_4{)}^{\top }\in P⟹A\mathbf{p}=(0,p_3+p_4,p_3+p_4,p_2+p_3{)}^{\top }$$
$$L=\mathrm{span}\{(0,1,1,0{)}^{\top },(0,0,0,1{)}^{\top }\}$$
$${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1,0{)}^{\top },{\mathbf{u}}_2=(0,0,0,1{)}^{\top }(\text{正規直交基底})$$
$$\mathbf{x}\text{の}L\text{への正射影 }{\mathbf{x}}_L=({\mathbf{u}}_1^{\top }\mathbf{x}){\mathbf{u}}_1+({\mathbf{u}}_2^{\top }\mathbf{x}){\mathbf{u}}_2={\left(0,\frac{x_2+x_3}{2},\frac{x_2+x_3}{2},x_4\right)}^{\top }$$
$$d(\mathbf{x}{)}^2=\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}_L{\Vert }^2=x_1^2+{\left(x_2-\frac{x_2+x_3}{2}\right)}^2+{\left(x_3-\frac{x_2+x_3}{2}\right)}^2+0$$

$$\boxed{d(\mathbf{x})=\sqrt{x_1^2+\frac{1}{2}(x_2-x_3{)}^2}}$$

(2)

$$\mathbf{s}=(s_1,s_2,s_3,s_4{)}^{\top }\in S⟺(s_1-1{)}^2+(s_2-1{)}^2+(s_3-1{)}^2+(s_4-1{)}^2=1$$
$$d(\mathbf{s}{)}^2=s_1^2+\frac{1}{2}(s_2-s_3{)}^2$$
$$u=s_1-1,v=s_2-1,w=s_3-1$$
$$u^2+v^2+w^2\le 1$$
$$y=\frac{v-w}{\sqrt{2}},z=\frac{v+w}{\sqrt{2}}⟹v^2+w^2=y^2+z^2$$
$$d(\mathbf{s}{)}^2=(u+1{)}^2+y^2=u^2+2u+1+y^2$$
$$u^2+y^2\le u^2+y^2+z^2\le 1⟹y^2\le 1-u^2$$
$$d(\mathbf{s}{)}^2\le u^2+2u+1+(1-u^2)=2u+2\le 4$$
$$(\text{等号成立は}u=1,y=0,z=0,s_4=1)$$

$$\boxed{\underset{\mathbf{s}\in S}{\max }d(\mathbf{s})=2}$$

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本题主要考察了矩阵的特征值与特征向量的求解、线性子空间的维度与基底的确定，以及多维空间中几何对象之间的距离计算和条件极值问题。第一问通过计算特征多项式并求根可以得到特征值，进而求出零空间的基底作为相应的特征向量。第二问中矩阵映射构成的像空间的维度即为矩阵的秩，可通过取出线性无关的列向量作为其基底。第三问要求超平面与超球面的最短距离，本质上是求解超球心到超平面的垂直距离后减去半径，并考虑到几何相交的情况下距离为零，故使用取最大值函数进行表达。第四问首先通过参数化超平面上的点找出子空间的生成向量，正交化后得到标准正交基以计算正交投影，从而推导出点到子空间距离的解析表达式。最后在超球面约束下求该距离函数的最大值时，运用了坐标平移与正交变换，将二次型的约束条件予以简化，通过不等式放缩直接找到使得目标函数达到最大值的临界状态，避免了多变量拉格朗日乘数法的繁琐计算。