0194-2020 东新复 数学 P117

微分积分 高等数学 偏导数 泰勒展开 积分 常微分方程 重积分

以下の問に答えよ．ただし，$x,y,z,t,k$は実数であるとする．

(問1) 関数$f(x,y)=x^3+y^2-xy$の偏導関数$\frac{\partial f}{\partial x}$と$\frac{\partial f}{\partial y}$を求めよ．また，曲面$z=f(x,y)$の$(x,y,z)=(1,2,f(1,2))$における接平面の方程式を求めよ．

(問2) 関数$h(x)=\exp \{\exp (2x)-1\}$を$x=0$のまわりで1次の項までテイラー展開せよ．また，極限

$$a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-h(x)}{x^k}$$
が存在し，$0<|a|<\infty$を満たすとき，$k$と$a$の値を求めよ．

(問3) 関数${\cos }^{-1}$は$\cos$の逆関数で，${\cos }^{-1}$の定義域と値域は，それぞれ，$[-1,1]$と$[0,\pi ]$であるとする．曲線$y={\cos }^{-1}(x+\frac{1}{2})$を描け．また，この曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれる領域の面積を求めよ．

(問4) 実関数$g(t)$が満たす次の微分方程式の一般解を求めよ．

$$\frac{d^{2}g}{d{t}^2}+\frac{dg}{dt}+\sin t=0$$
また，初期値$g(0)=2,\frac{dg}{dt}(0)=0$に対する特解を求めよ．

(問5) $D=\{(x,y)\mid 0\le 2x-y\le 1,0\le x+3y\le 2\}$とする．変数変換$u=2x-y,v=x+3y$を用いて，次の重積分の値を求めよ．

$${\iint }_D\frac{(2x-y{)}^3}{4+(x+3y{)}^2}dxdy$$

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解答：

(問1)

$$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-y$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=2y-x$$
$$f(1,2)=1^3+2^2-2=3$$
$$f_x(1,2)=1,f_y(1,2)=3$$
$$z-3=1(x-1)+3(y-2)$$
$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-y,\frac{\partial f}{\partial y}=2y-x,x+3y-z-4=0}$$

(問2)

$$h(0)=\exp (e^0-1)=1$$
$$h^{\prime }(x)=2\exp (2x)\exp \{\exp (2x)-1\}$$
$$h^{\prime }(0)=2$$
$$h(x)=h(0)+h^{\prime }(0)x+o(x)=1+2x+o(x)$$
$$a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-(1+2x+o(x))}{x^k}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2x-o(x)}{x^k}$$
$$0<|a|<\infty ⟹k=1,a=-2$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{テイラー展開: }1+2x\\ & k=1,a=-2\end{array}}$$

(問3)

$$\text{定義域: }-1\le x+\frac{1}{2}\le 1⟹-\frac{3}{2}\le x\le \frac{1}{2}$$
$$\text{曲線は }(-\frac{3}{2},\pi )\text{ から }(\frac{1}{2},0)\text{ を結ぶ単調減少曲線（描画略）}$$
$$\text{交点: }(0,\frac{\pi }{3}),(\frac{1}{2},0)$$
$$S={\int }_0^{1/2}{\cos }^{-1}\left(x+\frac{1}{2}\right)dx$$
$$t=x+\frac{1}{2}⟹dt=dx,S={\int }_{1/2}^1{\cos }^{-1}(t)dt$$
$$S={\left[t{\cos }^{-1}t\right]}_{1/2}^1+{\int }_{1/2}^1\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
$$S=-\frac{\pi }{6}+{\left[-\sqrt{1-t^2}\right]}_{1/2}^1$$
$$\boxed{S=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}}$$

(問4)

$$g^{\prime \prime }+g^{\prime }=0⟹{\lambda }^2+\lambda =0⟹\lambda =0,-1$$
$$g_c(t)=C_1+C_2{e}^{-t}$$
$$g_p(t)=A\cos t+B\sin t\text{ とおくと}$$
$$g_p^{\prime \prime }+g_p^{\prime }=(-A+B)\cos t+(-A-B)\sin t=-\sin t$$
$$A=B=1/2⟹g_p(t)=\frac{1}{2}(\cos t+\sin t)$$
$$g(t)=C_1+C_2{e}^{-t}+\frac{1}{2}(\cos t+\sin t)$$
$$g(0)=C_1+C_2+\frac{1}{2}=2$$
$$g^{\prime }(0)=-C_2+\frac{1}{2}=0$$
$$C_1=1,C_2=\frac{1}{2}$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{一般解: }g(t)=C_1+C_2{e}^{-t}+\frac{1}{2}(\cos t+\sin t)(C_1,C_2\text{は任意定数})\\ & \text{特解: }g(t)=1+\frac{1}{2}{e}^{-t}+\frac{1}{2}(\cos t+\sin t)\end{array}}$$

(問5)

$$u=2x-y,v=x+3y⟹\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right|=7$$
$$dudv=7dxdy$$
$$D^{\prime }:0\le u\le 1,0\le v\le 2$$
$$I={\iint }_{D^{\prime }}\frac{u^3}{4+v^2}\frac{1}{7}dudv$$
$$I=\frac{1}{7}\left({\int }_0^1{u}^{3}du\right)\left({\int }_0^2\frac{1}{v^2+4}dv\right)$$
$$I=\frac{1}{7}{\left[\frac{u^4}{4}\right]}_0^1{\left[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{v}{2}\right]}_0^2$$
$$I=\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\right)$$
$$\boxed{\frac{\pi }{224}}$$

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本题主要考查了多元函数微积分和常微分方程的基础运算。第一题中求偏导数后直接代入空间曲面的切平面方程公式即可得到结果。第二题利用复合函数的求导法则计算出函数在原点的一阶导数，从而写出泰勒展开的一阶项，再结合极限的存在且非零非无穷的条件，可以通过比较分母与分子首项阶数反推出参数的值。第三题涉及反三角函数的图像特征与定积分计算，实际作图时可通过平移标准反余弦函数得到对应的定义域和交点，求面积时运用分部积分法将反三角函数的积分转化为代数函数的积分从而简化运算。第四题是标准的二阶常系数非齐次线性微分方程，先求出齐次方程的指数形式通解，再利用待定系数法求出非齐次项对应的特解，最后代入初始数值条件联立方程组确定常数。第五题考查重积分的变量代换，计算出变换的雅可比行列式后，可以将原本倾斜的积分区域转化为容易处理的矩形区域，从而分离变量进行独立的单变量积分求得最终结果。