0192-2019 东新复 机械 P110

力学 经典力学 非惯性系 科里奥利力 旋转坐标系

地球を一定の角速度で回転する剛体球とする．地球の中心$\text{O}$を原点とする静止座標系$\Sigma (x,y,z)$において，この角速度ベクトルを$\mathbf{\omega }=(0,0,\omega )$と表す．図1に示すように北半球の緯度$\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$の点$\text{P}$を原点として地球表面に固定された回転座標系を${\Sigma }^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$とし，地球中心方向を$-z^{\prime }$軸，接平面上で南を$+x^{\prime }$軸，東を$+y^{\prime }$軸と定義する．

(問1) 点$\text{P}$の位置を地球中心からのベクトル$\mathbf{r}$で表すとき，その時間微分$\dot{\mathbf{r}}$が次の式(1)で表せることを示せ．

$$\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}(1)$$

(問2) ${\Sigma }^{\prime }$における地球の角速度ベクトルを成分表示せよ．

(問3) ある点の位置を表すベクトルは，各座標系の基底ベクトルを用いて$\Sigma$では$\mathbf{r}=x{\mathbf{e}}_x+y{\mathbf{e}}_y+z{\mathbf{e}}_z$，${\Sigma }^{\prime }$では${\mathbf{r}}^{\prime }=x^{\prime }{\mathbf{e}}_{x^{\prime }}+y^{\prime }{\mathbf{e}}_{y^{\prime }}+z^{\prime }{\mathbf{e}}_{z^{\prime }}$と表せる．点$\text{P}$にある質点が${\Sigma }^{\prime }$において速度${\mathbf{v}}^{\prime }$，加速度${\mathbf{a}}^{\prime }$で運動しているとき，$\Sigma$における速度$\mathbf{v}$と加速度$\mathbf{a}$を表す次の式(2), (3)を導け．

$$\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}(2)$$ $$\mathbf{a}={\mathbf{a}}^{\prime }+2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})(3)$$

(問4) ${\Sigma }^{\prime }$において，地球中心に向かう重力加速度${\mathbf{g}}^{\prime }=(0,0,-g^{\prime })$を受ける質点の運動方程式を式(3)を用いて求めよ．ただし${\omega }^2$のオーダーの項は無視してよい．

(問5) ${\Sigma }^{\prime }$において，点$\text{P}$の上方高さ$h^{\prime }$の点から初速度0で落下する質点が地面に到達するまでの時間を求めよ．またこのとき落下地点の点$\text{P}$からの$y^{\prime }$方向のずれを求めよ．ただし$h^{\prime }$は地球半径に比べて十分に小さく$\theta$と$g^{\prime }$は一定とみなす．また${\omega }^2$のオーダーの項は無視してよい．空気粘性の効果は無視する．

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解答：

(問1)
剛体上の点$\text{P}$は地球とともに角速度$\mathbf{\omega }$で回転しているため，剛体の回転の公式より直接次式を得る．

$$\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}$$

(証明終)

(問2)
${\Sigma }^{\prime }$系において，自転軸$\mathbf{\omega }$は子午面（$x^{\prime }$-$z^{\prime }$平面）内にある．緯度が$\theta$であり，$z^{\prime }$軸が天頂方向，$x^{\prime }$軸が南を向いているため，$\mathbf{\omega }$の$-x^{\prime }$軸（北）への射影は$\omega \cos \theta$，$+z^{\prime }$軸への射影は$\omega \sin \theta$となる．したがって成分表示は

$$\boxed{\mathbf{\omega }=(-\omega \cos \theta ,0,\omega \sin \theta )}$$

(問3)
${\Sigma }^{\prime }$の原点$\text{P}$の位置ベクトルを${\mathbf{r}}_P$，質点の${\Sigma }^{\prime }$における位置ベクトルを${\mathbf{r}}^{\prime }$とする．$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_P+{\mathbf{r}}^{\prime }$ である．

$$\begin{array}{rl}\mathbf{v}& =\dot{\mathbf{r}}\\ & ={\dot{\mathbf{r}}}_P+\frac{\mathrm{d}{\mathbf{r}}^{\prime }}{\mathrm{d}t}\\ & =\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_P+({\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}^{\prime })\\ & ={\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times ({\mathbf{r}}_P+{\mathbf{r}}^{\prime })\\ & ={\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}\end{array}$$

(証明終)

さらに時間微分して加速度を求める．

$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}& =\dot{\mathbf{v}}\\ & =\frac{\mathrm{d}{\mathbf{v}}^{\prime }}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})\\ & =({\mathbf{a}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime })+\mathbf{\omega }\times \mathbf{v}\\ & ={\mathbf{a}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times ({\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})\\ & ={\mathbf{a}}^{\prime }+2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})\end{array}$$

(証明終)

(問4)
静止系$\Sigma$における運動方程式は $\mathbf{a}={\mathbf{g}}_{\text{引力}}$ である．式(3)より

$${\mathbf{a}}^{\prime }={\mathbf{g}}_{\text{引力}}-\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})-2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$$

${\mathbf{g}}^{\prime }$ は引力と遠心力の合力として ${\mathbf{g}}^{\prime }={\mathbf{g}}_{\text{引力}}-\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})=(0,0,-g^{\prime })$ であるため，

$${\mathbf{a}}^{\prime }={\mathbf{g}}^{\prime }-2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$$

${\omega }^2$のオーダーの項を無視し，${\mathbf{v}}^{\prime }=({\dot{x}}^{\prime },{\dot{y}}^{\prime },{\dot{z}}^{\prime })$を用いて外積を展開すると

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\boxed{{\ddot{x}}^{\prime }=2\omega \sin \theta {\dot{y}}^{\prime } \\ {\ddot{y}}^{\prime }=-2\omega ({\dot{x}}^{\prime }\sin \theta +{\dot{z}}^{\prime }\cos \theta ) \\ {\ddot{z}}^{\prime }=-g^{\prime }+2\omega \cos \theta {\dot{y}}^{\prime }}\end{array} \end{gathered}$$

(問5)
初期条件は $t=0$ で $x^{\prime }=y^{\prime }=0,z^{\prime }=h^{\prime },{\dot{x}}^{\prime }={\dot{y}}^{\prime }={\dot{z}}^{\prime }=0$ である．
$\omega$の0次近似として，鉛直方向は ${\ddot{z}}^{\prime }=-g^{\prime }$ であり，積分して ${\dot{z}}^{\prime }=-g^{\prime }t$，$z^{\prime }=h^{\prime }-\frac{1}{2}{g}^{\prime }{t}^2$ となる．地面（$z^{\prime }=0$）に到達する時間 $T$ は

$$\boxed{T=\sqrt{\frac{2h^{\prime }}{g^{\prime }}}}$$

これを ${\ddot{y}}^{\prime }$ の方程式に代入する．${\dot{x}}^{\prime }$ は $\omega$ のオーダーであるため ${\dot{x}}^{\prime }\sin \theta$ は ${\omega }^2$ のオーダーとなり無視する．

$$\begin{array}{rl}{\ddot{y}}^{\prime }& \approx -2\omega (-g^{\prime }t)\cos \theta \\ & =2\omega g^{\prime }t\cos \theta \end{array}$$

初期速度および初期位置が0であることを用いて積分する．

$${\dot{y}}^{\prime }=\omega g^{\prime }{t}^2\cos \theta$$ $$y^{\prime }=\frac{1}{3}\omega g^{\prime }{t}^3\cos \theta$$

$t=T$ を代入し，東向き（$+y^{\prime }$方向）のずれを求める．

$$\boxed{y^{\prime }=\frac{1}{3}\omega \cos \theta \sqrt{\frac{8h^{\prime 3}}{g^{\prime }}}}$$

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本题考查了非惯性系中的相对运动动力学问题。解题的关键在于熟练掌握旋转坐标系中绝对导数与相对导数的关系，并能将公式转化为具体坐标系下的分量方程。前三问是经典的运动学定理推导，要求明确定点与动点的向径关系，运用求导法则自然得出科里奥利加速度与向心加速度。第四问和第五问进入动力学和摄动法求解，在写出带有科里奥利力的分量运动方程后，抓住 $\omega$ 为小量的特征，先求解零阶的自由落体运动得到下降时间，再将该速度代入科里奥利力项计算一阶的水平偏向。这也是解释地球自转产生落体东偏现象的经典物理模型。