0191-2019 东新复 数学 P109

概率统计 概率论与数理统计 离散型随机变量 次序统计量 数学期望

$k$ と $n$ を $2$ 以上の整数とする．確率変数 $X\in \{1,2,\dots ,k\}$ について，事象 $X=a$ の確率が

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}[X& =a]\\ & =\{\begin{array}{llc}{2}^{-a},& a=1,2,\dots ,k-12^{-(k-1)},& a=k\end{array}\end{array}$$

で与えられている．また，$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を互いに独立で $X$ と同じ分布に従う確率変数とする．$X_1,X_2,\dots ,X_n$ のうちの最小値を $Y_n=\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$ とする．以下の問に答えよ．

(問 1) $k=5$ とする．$\mathrm{Pr}[X\ge a]$ を $a=1,2,3,4,5$ に対して求めよ．

(問 2) $k=5$ とする．確率変数 $Z=2^X$ の期待値と分散を求めよ．

(問 3) $k$ を $2$ 以上の整数とする．$\mathrm{Pr}[Y_n\ge a]$ を $a=1,2,\dots ,k$ に対して求めよ．

(問 4) $k$ を $2$ 以上の整数とする．$Y_n$ の期待値を求めよ．

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解答：

(問 1)
$k=5$ のとき，確率分布は以下のようになる．
$\mathrm{Pr}[X=1]=\frac{1}{2}$
$\mathrm{Pr}[X=2]=\frac{1}{4}$
$\mathrm{Pr}[X=3]=\frac{1}{8}$
$\mathrm{Pr}[X=4]=\frac{1}{16}$
$\mathrm{Pr}[X=5]=\frac{1}{16}$
これより，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}[X& \ge 1]\\ & =1\mathrm{Pr}[X\ge 2]\\ & =1-\mathrm{Pr}[X=1]\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{Pr}[X\ge 3]\\ & =\mathrm{Pr}[X\ge 2]-\mathrm{Pr}[X=2]\\ & =\frac{1}{4}\mathrm{Pr}[X\ge 4]\\ & =\mathrm{Pr}[X\ge 3]-\mathrm{Pr}[X=3]\\ & =\frac{1}{8}\mathrm{Pr}[X\ge 5]\\ & =\mathrm{Pr}[X=5]\\ & =\frac{1}{16}\end{array}$$ $$\begin{gathered} \begin{array}{c}\boxed{\mathrm{Pr}[X\ge 1]=1 \\ \mathrm{Pr}[X\ge 2]=\frac{1}{2} \\ \mathrm{Pr}[X\ge 3]=\frac{1}{4} \\ \mathrm{Pr}[X\ge 4]=\frac{1}{8} \\ \mathrm{Pr}[X\ge 5]=\frac{1}{16}}\end{array} \end{gathered}$$

(問 2)
$Z=2^X$ の期待値 $E[Z]$ は，

$$\begin{array}{rl}E[Z]& =\sum _{x=1}^5{2}^x\mathrm{Pr}[X\\ & =x]\\ & =2^1\cdot \frac{1}{2}+2^2\cdot \frac{1}{4}+2^3\cdot \frac{1}{8}+2^4\cdot \frac{1}{16}+2^5\cdot \frac{1}{16}\end{array}$$ $$E[Z]=1+1+1+1+2=6$$

分散 $V[Z]$ を求めるために，$E[Z^2]$ を計算する．

$$\begin{array}{rl}E[Z^2]& =\sum _{x=1}^5(2^x{)}^2\mathrm{Pr}[X\\ & =x]\\ & =\sum _{x=1}^5{2}^{2x}\mathrm{Pr}[X\\ & =x]\end{array}$$ $$E[Z^2]=2^2\cdot \frac{1}{2}+2^4\cdot \frac{1}{4}+2^6\cdot \frac{1}{8}+2^8\cdot \frac{1}{16}+2^{10}\cdot \frac{1}{16}$$ $$E[Z^2]=2+4+8+16+64=94$$

ゆえに，分散は

$$V[Z]=E[Z^2]-(E[Z]{)}^2=94-6^2=58$$ $$\boxed{E[Z]=6,V[Z]=58}$$

(問 3)
まず，任意の $a\in \{1,2,\dots ,k\}$ に対して $\mathrm{Pr}[X\ge a]$ を求める．

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}[X& \ge a]\\ & =1-\sum _{i=1}^{a-1}\mathrm{Pr}[X\\ & =i]\\ & =1-\sum _{i=1}^{a-1}{2}^{-i}\\ & =1-\frac{\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{a-1}\right)}{1-\frac{1}{2}}\\ & =2^{-(a-1)}\end{array}$$

$Y_n\ge a$ となるのは，すべての $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ に対して $X_i\ge a$ となるときであり，各 $X_i$ は互いに独立であるから，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}[Y_n& \ge a]\\ & =\prod _{i=1}^n\mathrm{Pr}[X_i\\ & \ge a]\\ & ={\left(2^{-(a-1)}\right)}^n\\ & =2^{-n(a-1)}\end{array}$$ $$\boxed{\mathrm{Pr}[Y_n\ge a]=2^{-n(a-1)}}$$

(問 4)
確率変数 $Y_n$ は正の整数値をとるので，その期待値は尾部確率（survival function）の和として計算できる．

$$E[Y_n]=\sum _{a=1}^{\infty }\mathrm{Pr}[Y_n\ge a]$$

$Y_n\le k$ であるから，$a>k$ のとき $\mathrm{Pr}[Y_n\ge a]=0$ となる．したがって，

$$\begin{array}{rl}E[Y_n]& =\sum _{a=1}^k\mathrm{Pr}[Y_n\\ & \ge a]\\ & =\sum _{a=1}^k{2}^{-n(a-1)}\end{array}$$

これは初項 $1$，公比 $2^{-n}$，項数 $k$ の等比数列の和であるから，

$$\begin{array}{rl}E[Y_n]& =\frac{1-(2^{-n}{)}^k}{1-2^{-n}}\\ & =\frac{1-2^{-nk}}{1-2^{-n}}\end{array}$$ $$\boxed{E[Y_n]=\frac{1-2^{-nk}}{1-2^{-n}}}$$

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本题考察了离散型随机变量的分布列性质、期望与方差的计算，以及独立同分布样本的次序统计量问题。题目中给出的是一种截断的几何分布，第一题直接代入计算累积概率验证其规律。第二题通过随机变量函数的期望公式，计算指数变换后的均值和方差，只需耐心展开即可。第三题是求解多个独立随机变量最小值的分布规律，利用最小值大于等于某个值等价于所有变量都大于等于该值这一事件的等价关系，借助独立性将概率转化为连乘求解。第四题则巧妙利用了取非负整数值的随机变量期望的一个经典结论，即期望等于其大于等于各个正整数的概率之和，从而将求期望的过程转化为计算一个有限项的等比数列求和，大幅简化了运算。