0190-2019 东新复 数学 P108

微分积分 复变函数与积分变换 信号与系统 傅里叶变换 卷积

$t,\omega$ を実数とし，実関数 $f(t)$ のフーリエ変換を以下のように定義する．

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t$$

ここで $\mathrm{e}$ は自然対数の底，$\mathrm{i}$ は虚数単位である．また，sinc 関数 $s(\omega )$ を以下のように定義する．

$$s(\omega )=\frac{\sin (\omega )}{\omega }$$

以下の問に答えよ．

(問 1) 以下の関数 $g(t)$ のフーリエ変換を求め，sinc 関数を用いて表せ．

$$g(t)=\{\begin{array}{ll}1,& |t|\le \frac{1}{2}\\ 0,& |t|>\frac{1}{2}\end{array}$$

(問 2) 実関数 $p(t),q(t)$ に対する畳み込み積分を

$$(p\ast q)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(\tau )q(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$

と定義する．$h(t)=(g\ast g)(t)$ を求めよ．

(問 3) 以下の関数 $k(t)$ のフーリエ変換を求め，sinc 関数を用いて表せ．

$$k(t)=\{\begin{array}{ll}1-|t|,& |t|\le 1\\ 0,& |t|>1\end{array}$$

(問 4) $l(t)$ のフーリエ変換が $L(\omega )=\{s(\frac{\omega }{2}){\}}^3$ で与えられるとき，$l(t)$ を求めよ．

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解答：

(問 1)
定義より，

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-1/2}^{1/2}1\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}G(\omega )& ={\left[\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}}{-\mathrm{i}\omega }\right]}_{-1/2}^{1/2}\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega /2}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega /2}}{-\mathrm{i}\omega }\\ & =\frac{2\sin \left(\frac{\omega }{2}\right)}{\omega }\end{array}$$

分子分母を $2$ で割ることで，

$$\boxed{G(\omega )=s\left(\frac{\omega }{2}\right)}$$

(問 2)
定義より，

$$\begin{array}{rl}h(t)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau )g(t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_{-1/2}^{1/2}g(t-\tau )\mathrm{d}\tau \end{array}$$

$g(t-\tau )=1$ となる条件は $|t-\tau |\le 1/2$ すなわち $t-1/2\le \tau \le t+1/2$ である．
積分区間 $[-1/2,1/2]$ との共通部分を考える．
(i) $t\le -1$ または $t\ge 1$ のとき，共通部分はなく $h(t)=0$
(ii) $-1<t\le 0$ のとき，共通部分は $[-1/2,t+1/2]$

$$\begin{array}{rl}h(t)& ={\int }_{-1/2}^{t+1/2}1\mathrm{d}\tau \\ & =t+1\end{array}$$

(iii) $0<t<1$ のとき，共通部分は $[t-1/2,1/2]$

$$h(t)={\int }_{t-1/2}^{1/2}1\mathrm{d}\tau =1-t$$

以上をまとめて，

$$\boxed{h(t)=\{\begin{array}{ll}1-|t|,& |t|\le 1\\ 0,& |t|>1\end{array}}$$

(問 3)
(問 2)の結果より，$k(t)=h(t)=(g\ast g)(t)$ である．
フーリエ変換の畳み込み定理 $\mathcal{F}[p\ast q]=\mathcal{F}[p]\cdot \mathcal{F}[q]$ を用いると，

$$K(\omega )=G(\omega )\cdot G(\omega )$$

(問 1)の結果を代入して，

$$\boxed{K(\omega )={\left\{s\left(\frac{\omega }{2}\right)\right\}}^2}$$

(問 4)
与えられた $L(\omega )={\left\{s\left(\frac{\omega }{2}\right)\right\}}^3$ は，(問 1), (問 3) の結果より $L(\omega )=K(\omega )G(\omega )$ と表せる．
逆フーリエ変換と畳み込み定理より，$l(t)=(k\ast g)(t)$ である．

$$\begin{array}{rl}l(t)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }k(\tau )g(t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_{t-1/2}^{t+1/2}k(\tau )\mathrm{d}\tau \end{array}$$

$k(\tau )$ の定義から，被積分関数が $0$ でない区間 $[-1,1]$ と $[t-1/2,t+1/2]$ の重なりを考える．
(i) $t\le -3/2$ または $t\ge 3/2$ のとき，$l(t)=0$
(ii) $-3/2<t\le -1/2$ のとき，重なりは $[-1,t+1/2]$

$$\begin{array}{rl}l(t)& ={\int }_{-1}^{t+1/2}(1+\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\left[\frac{(1+\tau {)}^2}{2}\right]}_{-1}^{t+1/2}\\ & =\frac{1}{2}{\left(t+\frac{3}{2}\right)}^2\end{array}$$

(iii) $-1/2<t\le 1/2$ のとき，重なりは $[t-1/2,0]$ と $[0,t+1/2]$ に分かれる

$$\begin{array}{rl}l(t)& ={\int }_{t-1/2}^0(1+\tau )\mathrm{d}\tau +{\int }_0^{t+1/2}(1-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\left[\tau +\frac{{\tau }^2}{2}\right]}_{t-1/2}^0+{\left[\tau -\frac{{\tau }^2}{2}\right]}_0^{t+1/2}\\ & =-\left(t-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\left(t+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{3}{4}-t^2\end{array}$$

(iv) $1/2<t<3/2$ のとき，重なりは $[t-1/2,1]$

$$\begin{array}{rl}l(t)& ={\int }_{t-1/2}^1(1-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\left[-\frac{(1-\tau {)}^2}{2}\right]}_{t-1/2}^1\\ & =\frac{1}{2}{\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2\end{array}$$

よって，

$$\boxed{l(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{\left(t+\frac{3}{2}\right)}^2,& -\frac{3}{2}\le t\le -\frac{1}{2}\\ \frac{3}{4}-t^2,& -\frac{1}{2}<t\le \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}{\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2,& \frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}\\ 0,& |t|>\frac{3}{2}\end{array}}$$

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本题考查了傅里叶变换的计算以及时域卷积定理的应用。第一问是基础的门函数傅里叶变换，利用欧拉公式即可将其化为题目给定的sinc函数形式。第二问通过直接计算定义式，求出两个相同矩形脉冲的卷积，结果为一个三角形脉冲，也就是第三问中的函数。第三问和第四问是全题的核心，如果不使用卷积定理直接进行积分或者逆傅里叶变换，计算量会非常大。观察到频域中函数连乘的形式后，利用时域卷积等于频域相乘这一性质，可以将其转化为时域中函数的卷积计算。第四问本质上是求三角形脉冲和矩形脉冲的卷积，通过对积分区间中心点位置的分类讨论，计算相应的多项式积分即可得到平滑的分段二次函数。这种矩形函数的多次卷积在信号处理中对应着B样条基函数的生成过程。