理想気体に関する以下の問に答えよ．ただし，気体定数を ，定積モル比熱を とし， は定数であるとする．
(問1) 絶対温度 ，体積 ，圧力 の1モルの理想気体のエントロピー を考える．準静的過程での内部エネルギー の変化は と書ける．これを用いて
を導け．ただし， は温度 ，体積 のときのエントロピーである．
(問2) 体積 ，温度 ，エントロピー の1モルの理想気体Aと体積 ，温度 ，エントロピー の1モルの理想気体Bから成る系を考える．この系は，外界から熱的に隔離されている．A，Bは断熱壁を介して接している．ある時刻よりA，B間の断熱壁をエネルギーのやり取りのできる壁にしたところ，それぞれの温度が変化し始めた．ある時間が経ったときのそれぞれの温度を ，それぞれのエントロピーを とする．この系のエントロピーの増分を とし，これについて考える．ただし，A，Bの状態変化は準静的であるとする．また，定積モル比熱はA，Bともに であるとする．ただし，断熱壁，およびエネルギーのやり取りのできる壁の熱容量は無視できるものとする．
(1) を で表せ．
(2) 系全体の内部エネルギーの和が保存されることに注意して，(問2)(1)の解を で表せ．
(3) 孤立系の平衡状態はエントロピー最大の状態である．(問2)(2)で求めた が に対して極値をもつ条件を求め，この系の平衡状態での と を で表せ．また，このとき が必ず正であることを示せ．
(4) A，Bの初期温度が である場合に，この系が平衡に達した時の を とする． と の大小関係を示し，その理由を述べよ．
解答：
(問1)
1モルの理想気体において であり、状態方程式 より である。これを熱力学第一法則の式に代入する。
両辺を で割り、 について解く。
状態 から まで積分する。
よって、以下の式が導かれる。(証明終)
(問2)
(1)
AおよびBは体積が一定であるため、エントロピーの増分はそれぞれ温度変化のみに依存する。(問1)の結果を用いて を計算する。
対数の性質を用いてまとめる。
(2)
系の内部エネルギーの和は保存されるため、以下の関係が成り立つ。
これを について解く。
これを(1)で求めた式に代入する。
(3)
が に対して極値をもつ条件を求めるため、 で微分して0とおく。
したがって、極値をもつ条件は以下の通りである。
これをエネルギー保存則の式に代入すると、平衡状態での温度が得られる。
このときのエントロピー増分 は以下のようになる。
初期条件より であるため、 が成り立つ。これを展開して整理する。
したがって、対数の真数は1より大きくなる。
であるため、 が必ず成り立つ。(証明終)
(4)
大小関係は以下の通りである。
理由：
(3)で求めたように、平衡に達した時のエントロピー増分は で与えられる。どちらのケースも初期温度の和は で等しいため、真数の分子は一定である。このとき、初期温度の積 が小さいほど、対数の真数が大きくなり は大きくなる。積を比較すると であり、 であるため、後者の方がエントロピーの増分は大きくなる。
补充：
这道题目通过严密的数学推导展示了热力学第二定律的微观本质。从理想气体的基本状态方程出发，首先确立了系统的熵变与温度和体积的函数关系。在绝热且等容的热接触过程中，系统整体既不对外做功也没有热量交换，能量只在两部分气体之间传递，导致温度高的气体降温，温度低的气体升温。计算孤立系统总熵的变化时可以发现，随着热量流动的进行，系统总熵是一个开口向下的对数抛物线形式。利用微积分求导求极值，我们发现熵最大的状态恰好对应于两部分气体温度相等的时刻，也就是热平衡状态。这就从理论上证明了熵增原理决定了热量传导的方向性和不可逆性。同时最后的比较问题也直观地揭示了一个规律，即初始系统内部的热力学不平衡程度越剧烈，其自发演化到平衡态时所耗散的能量或者说产生的熵增也就越大。