図1のように長さの変化する棒の先に質点がついている振り子がある．質点の質量を ，重力加速度を ，棒の長さを ，最下点からの棒の振れ角を とする．棒の質量，支点での摩擦，空気抵抗は無視する． の絶対値は常に 以下であるとする．
棒の長さは初め であり，これを振れ角 のA点で静止させ，静かに手を離す．質点が最下点Bにさしかかったところで短時間のうちに棒の長さを に縮め，質点をC点に引き上げる．質点が運動を続けて最高地点Dに到達したところで，短時間のうちに棒の長さを に戻し，質点はE点に至る．そのあと質点はB点に向けて折り返す．なお，棒の長さの変化は十分に短時間で行われ，その間の振れ角の変化は無視できるものとする．
(問1) 最初にB点に到達したときの質点の速さ を ，， を用いて表せ．
(問2) C点での質点の速さ を角運動量保存則から ，， を用いて表せ．
(問3) 質点がE点を経て再びB点に戻ったときの運動エネルギーは，質点が最初にB点を通過したときの運動エネルギーに比べ何倍になっているか．， を用いて表せ．
(問4) 時刻を として，長さ が任意の時間変化を行うときの の時間についての二階微分(角加速度)についての方程式を書け．この式をもとに，最下点では の時間微分が負であると進行方向の角加速度が生じることと，最高地点では の時間微分が角加速度に影響しないことを，それぞれ説明せよ．
解答：
(問1)
A点からB点までの力学的エネルギー保存則より、
(問2)
最下点近傍での急激な長さ変化では、重力および張力は動径方向を向くため支点周りの力のモーメントが0となり、角運動量が保存される。
(問3)
最初にB点を通過したときの運動エネルギーを とする。
C点での運動エネルギー は、
C点からD点までの力学的エネルギー保存則より、D点の振れ角を とすると、
D点では質点の速さが0であるため、長さを に戻してE点に至る過程において張力は仕事をせず、運動エネルギーは0のままである。
E点から再びB点に戻ったときの運動エネルギー は、E点からの力学的エネルギー保存則より、
したがって、
(問4)
極座標系における質点の運動エネルギー と位置エネルギー （支点を基準）は、
ラグランジアン に対する のオイラー・ラグランジュ方程式 より、
整理して、求める方程式は、
最下点では より となる。方程式は となる。 のとき、係数 は正であるため、角加速度 は角速度 と常に同符号になる。これは質点が向かっている方向（進行方向）へ角加速度が生じ、回転が加速されることを意味する。(証明終)
最高地点では質点の速さが一瞬0になるため、角速度 となる。方程式の第二項が消去され、 となる。この式には が含まれないため、 の時間微分は最高地点での角加速度に影響しない。(証明終)
补充：
这道题目探讨了经典力学中非常著名的参数共振现象，其最典型的现实应用就是日常生活中荡秋千的原理。为了让秋千越荡越高，我们不需要外界在水平方向推一把，而是通过系统内部参数（摆长或质心位置）的周期性变化来实现能量的输入。
在摆动到最低点时，质点的速度最大，此时向心力最大。人主动站起（对应题目中质点从B被拉到C，摆长缩短），需要克服巨大的向心力和重力做功，这部分正功直接转化为了系统的动能，导致角动量守恒的同时角速度和动能显著增加。而当摆动到最高点时，质点速度为零，向心力为零。此时人蹲下（对应题目中质点从D落到E，摆长恢复原状），张力仅与重力的径向分量平衡且不做功（或做极少的负功），系统能量基本不流失。经历一个完整的周期后，总能量增加了，题目中得出的立方倍数关系非常直观地展现了这种指数级的能量增长。
第四问中的微分方程进一步揭示了这一过程的微观运动学机制。方程中多出的那一项实际上是科里奥利力在角向方程中的体现。当摆长缩短（导数小于零）时，科里奥利力与运动方向一致，起到驱动和加速的作用；而最高点速度为零，科里奥利力自然消失，摆长的变化不再影响运动状态。