0184-2018 东新复 数学 P95

傅里叶与拉普拉斯变换 信号与系统 傅里叶变换 解析信号

$t,\omega$ を実数とし，関数 $f(t)$ のフーリエ変換と，その逆フーリエ変換をそれぞれ以下のように定義する．

$$F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t$$ $$f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega$$

ここで $\mathrm{e}$ は自然対数の底，$\mathrm{i}$ は虚数単位である．以下の問に答えよ．ただし，以下で与えられるデルタ関数 $\delta (\omega )$ を用いてもよい．

$$\delta (\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t$$

(問1) ${\omega }_0$ を実定数として，$\cos ({\omega }_{0}t)$ のフーリエ変換を求めよ．

(問2) $f(t)$ が実偶関数のとき，$F(\omega )$ が実数関数となることを示せ．

(問3) 実偶関数 $f(t)$ が以下で与えられる場合を考える．

$$f(t)=\sum _{n=0}^N\cos ({\omega }_{n}t)$$

ここで $N$ は正の整数である．この ${\omega }_n$ が，正の実定数 $t_0$ を用いて

$$\begin{array}{rl}{\omega }_n& =\frac{(1+4n)\pi }{2t_0}(n\\ & =0,1,2,\dots )\end{array}$$

と与えられるとき，$f(t)$ が以下を満たすことを示せ．

$$f(t-t_0)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{\infty }F(\omega )\sin (\omega t)\mathrm{d}\omega$$

(問4) $G(\omega )=F(\omega )H(\omega )$ を考える．ここで $H(\omega )$ は以下で与えられる．

$$H(\omega )=\{\begin{array}{ll}2,& \omega >0\\ 1,& \omega =0\\ 0,& \omega <0\end{array}$$

$G(\omega )$ の逆フーリエ変換を $g(t)$ とし，$f(t)$ が(問3)のように与えられるとき，$g(t)$ を $f(t)$ と $f(t-t_0)$ を用いて示せ．

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解答：

(問1)
オイラーの公式より，$\cos ({\omega }_{0}t)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\omega }_{0}t}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\omega }_{0}t}}{2}$ であるから，

$$F(\omega )=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\omega -{\omega }_0)t}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\omega +{\omega }_0)t}\right)\mathrm{d}t$$

$\delta (\omega )$ の定義 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=2\pi \delta (\omega )$ を用いると，

$$\boxed{F(\omega )=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\left(\delta (\omega -{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0)\right)}$$

(問2)
オイラーの公式 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}=\cos (\omega t)-\mathrm{i}\sin (\omega t)$ を用いて積分を展開する．

$$F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cos (\omega t)\mathrm{d}t-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\sin (\omega t)\mathrm{d}t$$

$f(t)$ は偶関数であり，$\sin (\omega t)$ は奇関数であるため，$f(t)\sin (\omega t)$ は奇関数となる．対称区間における奇関数の定積分は $0$ であるため，第2項は消去される．

$$F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cos (\omega t)\mathrm{d}t$$

$f(t)$ および $\cos (\omega t)$ は実数関数であるから，その積分値も実数となる．したがって $F(\omega )$ は実数関数である．(証明終)

(問3)
(問1)の結果より，$f(t)$ のフーリエ変換は次のように求まる．

$$F(\omega )=\sum _{n=0}^N\sqrt{\frac{\pi }{2}}\left(\delta (\omega -{\omega }_n)+\delta (\omega +{\omega }_n)\right)$$

${\omega }_n>0$ であることに注意して，与式の右辺を計算する．$\omega \ge 0$ の積分範囲において $\delta (\omega +{\omega }_n)=0$ となるため，

$$\begin{array}{rl}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{\infty }F(\omega )\sin (\omega t)\mathrm{d}\omega & ={\int }_0^{\infty }\sum _{n=0}^N\left(\delta (\omega -{\omega }_n)+\delta (\omega +{\omega }_n)\right)\sin (\omega t)\mathrm{d}\omega \\ & =\sum _{n=0}^N\sin ({\omega }_{n}t)\end{array}$$

一方で，与式の左辺について ${\omega }_n{t}_0=\frac{(1+4n)\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2n\pi$ を代入すると，

$$\begin{array}{rl}f(t-t_0)& =\sum _{n=0}^N\cos ({\omega }_n(t-t_0))\\ & =\sum _{n=0}^N\cos \left({\omega }_{n}t-\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)\right)\\ & =\sum _{n=0}^N\cos \left({\omega }_{n}t-\frac{\pi }{2}\right)\\ & =\sum _{n=0}^N\sin ({\omega }_{n}t)\end{array}$$

両辺の計算結果が一致するため，等式が成り立つことが示された．(証明終)

(問4)
$F(\omega )$ の表式と ${\omega }_n>0$ を考慮して $G(\omega )$ を計算する．$H({\omega }_n)=2$，$H(-{\omega }_n)=0$ であるから，

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& =F(\omega )H(\omega )\\ & =\sum _{n=0}^N\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot 2\delta (\omega -{\omega }_n)\\ & =\sqrt{2\pi }\sum _{n=0}^N\delta (\omega -{\omega }_n)\end{array}$$

この逆フーリエ変換 $g(t)$ を求める．

$$\begin{array}{rl}g(t)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }G(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^N\delta (\omega -{\omega }_n){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega \\ & =\sum _{n=0}^N{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\omega }_{n}t}\end{array}$$

オイラーの公式を用いて実部と虚部に分ける．

$$g(t)=\sum _{n=0}^N\cos ({\omega }_{n}t)+\mathrm{i}\sum _{n=0}^N\sin ({\omega }_{n}t)$$

(問3)の過程から $\sum _{n=0}^N\cos ({\omega }_{n}t)=f(t)$ および $\sum _{n=0}^N\sin ({\omega }_{n}t)=f(t-t_0)$ であることがわかっているため，これを代入する．

$$\boxed{g(t)=f(t)+\mathrm{i}f(t-t_0)}$$

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本题涉及了信号与系统中关于傅里叶变换和解析信号构建的典型推导。第一问通过欧拉公式将余弦信号转换为复指数形式，结合狄拉克函数的积分定义，直接得到了离散频谱的表达式。这一步是后续所有频率成分分析的基础。第二问考察了傅里叶变换的对称性质，实偶函数的频谱依然是实偶函数，原因在于奇部函数在对称区间上的积分为零。第三问的巧妙之处在于特定频率与时间延迟之间的关系设定，所给定的频率参数在乘以时间延迟后，刚好产生了四分之一周期的整数倍相移，这就把原信号中所有的余弦项统一转化为了正弦项。结合正频率部分在积分中的筛选作用，成功将频域的运算与时域的移位联系在一起。最后一问引入了阶跃函数的变形，其物理意义是滤除负频率成分并将正频率成分的幅度翻倍。经过逆傅里叶变换，所得的复数信号也就是通信领域常说的解析信号。它的实部是原始信号本身，而虚部则是由原信号经过相移（即希尔伯特变换）得到的，利用第三问的结论，这个虚部正好可以表示为原信号的时移形式。