0183-2018 东新复 数学 P94

线性代数 空间向量 线性规划 矩阵乘法

実数の集合および非負実数の集合をそれぞれ $\mathbb{R}=(-\infty ,\infty ),{\mathbb{R}}_{+}=[0,\infty )$ とする．次の $3$ 次元ベクトル ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{a}}_4\in {\mathbb{R}}^3$ および $3\times 4$ 行列 $A\in {\mathbb{R}}^{3\times 4}$ を考える．

$$\begin{array}{rl}A& =({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{a}}_4)\\ & =\left(\begin{array}{cccccccccc}5& 1& 4& 23& 0& 5& 11& 4& 0& 3\end{array}\right)\end{array}$$

4次元ベクトルを $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^4$ で表す．ここで $\top$ はベクトルの転置を表す．さらに，集合 $P$ を

$$P=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}_{+}^4:x_1+x_2+x_3+x_4=1\}$$

と定義する．このとき，以下の問に答えよ．

(問1) 集合 $S\subset {\mathbb{R}}^3$ を $x_1+x_3=1$ かつ $x_2+x_4=1$ を満たす $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4$ に対して点 $A\mathbf{x}$ がなす集合とする，すなわち

$$S=\{A\mathbf{x}:\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4,x_1+x_3=1,x_2+x_4=1\}$$

とする．$S$ と直交する単位ベクトル $\mathbf{c}\in {\mathbb{R}}^3$ を求めよ．

(問2) $x_4=0$ かつ $A\mathbf{x}={\mathbf{a}}_4$ を満たす $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^4$ を求めよ．

(問3) $\mathbf{x}\in P$ のうち次の2つの条件を同時に満たすものを1つ挙げよ．ここで，(問2) の結果を用いてもよい．
(a) $x_4=0$
(b) $\mathbf{y}{\mathbf{a}}_4\le \mathbf{y}A\mathbf{x}$ が任意の $\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対して成り立つ

(問4) 任意の固定した ${\mathbf{x}}^{\prime }\in P$ に対して，次の2つの条件を同時に満たす $\mathbf{x}\in P$ が存在することを示せ．ここで，(問3) の結果を用いてもよい．
(a) $x_4=0$
(b) $\mathbf{y}A{\mathbf{x}}^{\prime }\le \mathbf{y}A\mathbf{x}$ が任意の $\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対して成り立つ

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解答：
(問1)
条件より $x_3=1-x_1$，$x_4=1-x_2$ であるため，$A\mathbf{x}$ は次のように変形できる．

$$\begin{array}{rl}A\mathbf{x}& =x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+(1-x_1){\mathbf{a}}_3+(1-x_2){\mathbf{a}}_4\\ & ={\mathbf{a}}_3+{\mathbf{a}}_4+x_1({\mathbf{a}}_1-{\mathbf{a}}_3)+x_2({\mathbf{a}}_2-{\mathbf{a}}_4)\end{array}$$

したがって，集合 $S$ は $\mathbf{u}={\mathbf{a}}_1-{\mathbf{a}}_3=(1,-2,1{)}^{\top }$ と $\mathbf{v}={\mathbf{a}}_2-{\mathbf{a}}_4=(-1,-1,1{)}^{\top }$ の2つの方向ベクトルを持つ平面である．$S$ と直交するベクトル $\mathbf{c}$ は，$\mathbf{u}$ および $\mathbf{v}$ と直交するため外積を用いて求める．

$$\begin{array}{rl}\mathbf{u}\times \mathbf{v}& =\left(\begin{array}{c}1-21\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1-11\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}-1-2-3\end{array}\right)\end{array}$$

これを正規化して，求める単位ベクトル $\mathbf{c}$ を得る．

$$\boxed{\mathbf{c}=\pm \frac{1}{\sqrt{14}}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)}$$

(問2)
$x_4=0$ より $A\mathbf{x}=x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+x_3{\mathbf{a}}_3={\mathbf{a}}_4$ となるので，次の連立方程式を解く．

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 4\\ 3& 0& 5\\ 1& 4& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$$

これを解くと $x_1=\frac{9}{47},x_2=\frac{33}{47},x_3=\frac{4}{47}$ を得る．よって，

$$\boxed{\mathbf{x}=\frac{1}{47}\left(\begin{array}{c}9\\ 33\\ 4\\ 0\end{array}\right)}$$

(問3)
(問2)の解を ${\mathbf{x}}^{\ast }$ とおく．各成分の和は $\sum _{i=1}^4{x}_i^{\ast }=\frac{46}{47}$ である．
条件(b) は，任意の $\mathbf{y}\ge 0$ に対して $\mathbf{y}(A\mathbf{x}-{\mathbf{a}}_4)\ge 0$ が成り立つことであり，これは各成分について $A\mathbf{x}\ge {\mathbf{a}}_4$ であることと同値である．
$\mathbf{x}\in P$ を満たすために，和の不足分 $\frac{1}{47}$ を ${\mathbf{x}}^{\ast }$ の非負成分に加える．$\mathbf{v}=(\frac{1}{47},0,0,0{)}^{\top }$ とし，$\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\ast }+\mathbf{v}$ とおく．
このとき $\sum _{i=1}^4{x}_i=1$ かつ $\mathbf{x}\ge 0$ であるため $\mathbf{x}\in P$ であり，(a) $x_4=0$ も満たす．また $A\mathbf{v}=\frac{1}{47}{\mathbf{a}}_1\ge 0$ より，

$$\begin{array}{rl}A\mathbf{x}& =A{\mathbf{x}}^{\ast }+A\mathbf{v}\\ & ={\mathbf{a}}_4+\frac{1}{47}{\mathbf{a}}_1\\ & \ge {\mathbf{a}}_4\end{array}$$

となり，条件(b)を満たす．

$$\boxed{\mathbf{x}=\frac{1}{47}\left(\begin{array}{c}10\\ 33\\ 4\\ 0\end{array}\right)}$$

(問4)
(問3) で求めたベクトルを $\mathbf{w}\in P$ とおく．$\mathbf{w}$ は $w_4=0$ および $A\mathbf{w}\ge {\mathbf{a}}_4$ を満たす．
任意の固定した ${\mathbf{x}}^{\prime }=(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime },x_4^{\prime }{)}^{\top }\in P$ に対して，ベクトル $\mathbf{x}$ を次のように構成する．

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }+x_4^{\prime }{w}_1\\ x_2^{\prime }+x_4^{\prime }{w}_2\\ x_3^{\prime }+x_4^{\prime }{w}_3\\ 0\end{array}\right)$$

各成分は非負であり，成分の和は $x_1^{\prime }+x_2^{\prime }+x_3^{\prime }+x_4^{\prime }(w_1+w_2+w_3)=\sum _{i=1}^4{x}_i^{\prime }=1$ となるため $\mathbf{x}\in P$ である．また構成より(a) $x_4=0$ を満たす．
次に条件(b)について，$x_4^{\prime }\ge 0$ と $A\mathbf{w}\ge {\mathbf{a}}_4$ より

$$\begin{array}{rl}A\mathbf{x}& =x_1^{\prime }{\mathbf{a}}_1+x_2^{\prime }{\mathbf{a}}_2+x_3^{\prime }{\mathbf{a}}_3+x_4^{\prime }A\mathbf{w}\\ & \ge x_1^{\prime }{\mathbf{a}}_1+x_2^{\prime }{\mathbf{a}}_2+x_3^{\prime }{\mathbf{a}}_3+x_4^{\prime }{\mathbf{a}}_4\\ & =A{\mathbf{x}}^{\prime }\end{array}$$

$A\mathbf{x}\ge A{\mathbf{x}}^{\prime }$ が成分ごとに成り立つため，任意の $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対して $\mathbf{y}A{\mathbf{x}}^{\prime }\le \mathbf{y}A\mathbf{x}$ が成り立つ．
よって，条件を同時に満たす $\mathbf{x}\in P$ が存在することが示された．(証明終)

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补充：
关于题目中的几个核心逻辑，理解不等式条件的等价形式是解题的关键。题目要求对任意非负向量向量内积不等式成立，这在数学上完全等价于矩阵乘积在每个分量上都大于或等于目标向量。也就是说条件(b)实际上可以直接翻译成向量各个位置上的元素大小比较。

在第三问中，通过第二问我们已经得到了一个使其刚好等于目标值的解，但这个解的各个分量之和为46/47，距离集合P要求的和为1还差一点。因为矩阵A的所有元素都是非负的，所以我们只需要把缺失的这1/47随手加到前三个分量的任意一个上面，既满足了和为1的条件，又能保证乘积结果比原来的大，巧妙地构造出了满足不等式的解。

第四问实际上是在考察凸组合。任何一个原集合中的点都可以看作是基向量的线性组合。利用第三问找到的“替身”向量，我们把原向量中第四个维度上的权重转移到这个替身上，就在保持总权重为1的前提下，彻底消除了第四个维度的非零值，同时利用替身向量不等式的放缩性质保证了乘积结果只增不减。