0182-2018 东新复 数学 P93

微分积分 微积分 多元函数微分 条件极值

関数 $f(x,y)=(x+y)e^{-(x^2+y^2)}$ について，以下の問に答えよ．ただし，$x,y$は実数であり，$e$は自然対数の底とする．

(問1) $\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めよ．

(問2) $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ および $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ を求めよ．

(問3) 関数 $f$ を $(x,y)=(1,-1)$ のまわりで二次の項までテイラー展開せよ．

(問4) 関数 $f$ が $(x,y)=(0.5,0.5)$ において極大値をとることを示せ．

(問5) $x^2+y^2=1,x,y\ge 0$ の条件下で，関数 $f$ の極値を求めよ．

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解答：

(問1)

$$\frac{\partial f}{\partial x}=1\cdot e^{-(x^2+y^2)}+(x+y)\cdot (-2x)e^{-(x^2+y^2)}$$ $$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=(1-2x^2-2xy)e^{-(x^2+y^2)}}$$

(問2)

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=(-4x-2y)e^{-(x^2+y^2)}+(1-2x^2-2xy)(-2x)e^{-(x^2+y^2)}$$ $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=(-2x)e^{-(x^2+y^2)}+(1-2x^2-2xy)(-2y)e^{-(x^2+y^2)}$$ $$\boxed{\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=(4x^3+4x^{2}y-6x-2y)e^{-(x^2+y^2)}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=(4x^{2}y+4x{y}^2-2x-2y)e^{-(x^2+y^2)}}$$

(問3)
対称性より、以下の偏導関数が導かれる。

$$\frac{\partial f}{\partial y}=(1-2y^2-2xy)e^{-(x^2+y^2)}$$ $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=(4y^3+4x{y}^2-6y-2x)e^{-(x^2+y^2)}$$

各導関数に $(x,y)=(1,-1)$ を代入する。

$$f(1,-1)=0$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)& =e^{-2},\frac{\partial f}{\partial y}(1,-1)\\ & =e^{-2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(1,-1)& =-4e^{-2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(1,-1)\\ & =0,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(1,-1)\\ & =4e^{-2}\end{array}$$

テイラー展開の公式に代入する。

$$\begin{array}{rl}f(x,y)\approx f(1,-1)+f_x(1,-1)(x-1)+f_y(1,-1)(y+1)& +\frac{1}{2}\left\{f_{xx}(1,-1)(x-1{)}^2+2f_{xy}(1,-1)(x-1)(y+1)+f_{yy}(1,-1)(y+1{)}^2\right\}\end{array}$$ $$\boxed{f(x,y)\approx e^{-2}(x-1)+e^{-2}(y+1)-2e^{-2}(x-1{)}^2+2e^{-2}(y+1{)}^2}$$

(問4)
$(x,y)=(0.5,0.5)$ を各偏導関数に代入する。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}(0.5,0.5)& =(1-0.5-0.5)e^{-0.5}\\ & =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial y}(0.5,0.5)& =(1-0.5-0.5)e^{-0.5}\\ & =0\end{array}$$

よって、$(0.5,0.5)$ は停留点である。次にヘッセ行列の成分を計算する。

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(0.5,0.5)& =(0.5+0.5-3-1)e^{-0.5}\\ & =-3e^{-0.5}\end{array}$$ $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(0.5,0.5)=-3e^{-0.5}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(0.5,0.5)& =(0.5+0.5-1-1)e^{-0.5}\\ & =-e^{-0.5}\end{array}$$

ヘシアン $D$ を判定する。

$$\begin{array}{rl}D& =f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2\\ & =(-3e^{-0.5})(-3e^{-0.5})-(-e^{-0.5}{)}^2\\ & =8e^{-1}>0\end{array}$$

$D>0$ かつ $f_{xx}<0$ であるため、関数 $f$ は $(x,y)=(0.5,0.5)$ において極大値をとる。(証明終)

(問5)
条件 $x^2+y^2=1$ の下では、$e^{-(x^2+y^2)}=e^{-1}$（定数）となるため、関数は $f(x,y)=(x+y)e^{-1}$ と簡略化される。
$x,y\ge 0$ より、$x=\cos \theta ,y=\sin \theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{2})$ と媒介変数表示する。

$$\begin{array}{rl}f(\theta )& =(\cos \theta +\sin \theta )e^{-1}\\ & =\sqrt{2}{e}^{-1}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\end{array}$$

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ のとき、$\frac{\pi }{4}\le \theta +\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4}$ である。

$$\boxed{(x,y)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\text{ のとき、極大値 }\sqrt{2}{e}^{-1}(x,y)=(1,0),(0,1)\text{ のとき、極小値 }{e}^{-1}}$$

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这道题目综合考察了多元函数微积分中的几个核心知识点。第一问和第二问要求熟练掌握偏导数和高阶偏导数的计算技巧，特别是利用乘法法则和复合函数求导法则。第三问考察了多元函数在某一点的二阶泰勒展开，需要求解该点的所有一阶和二阶偏导数值。第四问是多元函数无条件极值的标准判别法，即通过令一阶偏导数等于零找到驻点，然后利用二阶偏导数构成的海森矩阵（Hessian matrix）的行列式和二阶偏导数的符号来验证极值性质。第五问则巧妙地将条件极值问题进行了化简，由于约束条件是单位圆，指数部分直接退化为常数，从而将问题转化为在一个象限内求三角函数极值的问题，使用极坐标参数化方程比直接使用拉格朗日乘数法更为简便和直观。