0181-2017 东新复 机械 P83

力学 热力学 理想气体 热机循环

以下の1モルの気体に関する問題について解答せよ．ただし，気体定数を$R$，定圧モル比熱を$C_P$，定積モル比熱を$C_V$，比熱比は$\gamma \equiv C_P/C_V$とする．また，気体の圧力を$P$，体積を$V$，温度を$T$，エントロピーを$S$とする．

（問１）${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$ が成り立つことを示せ．

（問２）$C_P-C_V=T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P$ が成り立つことを示せ．

（問３）理想気体について$C_P-C_V=R$が成り立つことを示せ．

以下では$C_P$，$C_V$は定数として解答せよ．

（問４）理想気体の断熱過程において$P{V}^{\gamma }$が一定となることを示せ．

（問５）温度$T_A$において体積$V_1$を占める1モルの理想気体について，次の準静的サイクル操作（A→B→C→D→A）を行うことを考える．
(A→B) 断熱膨張：$T_A\to T_B{V}_1\to V_2(V_2>V_1)$．
(B→C) 定積過程：$T_B\to T_C(T_B>T_C)$．
(C→D) 断熱圧縮：$T_C\to T_D{V}_2\to V_1$．
(D→A) 定積過程：$T_D\to T_A$．

(1) 横軸$V$，縦軸$P$のグラフ上で，このサイクルを図示せよ．
(2) 各過程で気体が吸収した熱量と外部に行う仕事を求めよ．
(3) 熱効率$\eta$は (気体が外部に行う仕事) / (気体が熱源から吸収した熱量) で定義される．このサイクルの熱効率が$\eta =1-(V_1/V_2{)}^{\gamma -1}$で与えられることを示せ．
(4) エネルギー等分配則が成り立つと仮定して，常温領域における単原子分子気体と二原子分子気体の$\gamma$をそれぞれ求めよ．
(5) (4)で求められた$\gamma$を用いて，$V_2=2V_1$のときに，単原子分子気体と二原子分子気体の$\eta$をそれぞれ有効数字2桁で求めよ．必要ならば以下の値を用いよ．
$2^{1/2}=1.4142^{1/3}=1.2602^{1/4}=1.1892^{1/5}=1.149$
$2^{1/6}=1.1222^{1/7}=1.1042^{1/8}=1.0912^{1/9}=1.080$
(6) (5)で求められた二つの$\eta$の値の大小関係の理由について，100字程度で定性的に説明せよ．

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解答：

（問１）
ヘルムホルツの自由エネルギー $F=U-TS$ の微小変化は，熱力学第一法則 $dU=TdS-PdV$ より

$$dF=-SdT-PdV$$

$dF$ は完全微分であるから，マクスウェルの関係式より

$${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$$

(証明終)

（問２）
エントロピー $S(T,V)$ の全微分は

$$dS={\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{V}dT+{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T}dV$$

定圧過程 ($dP=0$) では $dQ=C_{P}dT$ かつ $dQ=TdS$ であるため

$$\begin{array}{rl}{C}_P& =T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P\\ & =T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V+T{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P\end{array}$$

$C_V=T(\partial S/\partial T{)}_V$ であり，（問１）の結果を用いると

$$C_P-C_V=T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P$$

(証明終)

（問３）
1モルの理想気体の状態方程式 $PV=RT$ より

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V& =\frac{R}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P\\ & =\frac{R}{P}\end{array}$$

これらを（問２）の関係式に代入すると

$$\begin{array}{rl}{C}_P-C_V& =T\cdot \frac{R}{V}\cdot \frac{R}{P}\\ & =\frac{R^{2}T}{PV}\\ & =\frac{R^{2}T}{RT}\\ & =R\end{array}$$

(証明終)

（問４）
断熱過程では $dQ=0$。熱力学第一法則より $dU=-PdV$。
理想気体において $dU=C_{V}dT$ であるため，$C_{V}dT=-PdV$。
また，$PV=RT$ を微分して $PdV+VdP=RdT$。
$R=C_P-C_V$ を用いて $dT$ を消去する。

$$\begin{array}{rl}PdV+VdP& =(C_P-C_V)\left(-\frac{P}{C_V}dV\right)\\ & =-(\gamma -1)PdV\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}VdP+\gamma PdV& =0\\ ⟹\frac{dP}{P}+\gamma \frac{dV}{V}& =0\end{array}$$

積分すると

$$\begin{array}{rl}\ln P+\gamma \ln V& =\text{const}\\ ⟹P{V}^{\gamma }& =\text{const}\end{array}$$

(証明終)

（問５）
(1)
グラフは省略する。点A($V_1,P_A$)から点B($V_2,P_B$)へ右下がりの曲線，点Bから点C($V_2,P_C$)へ真下の直線，点Cから点D($V_1,P_D$)へ左上がりの曲線，点Dから点Aへ真上の直線を結ぶ閉曲線となる。

(2)
各過程の吸収熱量を $Q$，外部にする仕事を $W$ とする。
(A→B)

$$\boxed{Q_{AB}=0,W_{AB}=C_V(T_A-T_B)}$$

(B→C)

$$\boxed{Q_{BC}=C_V(T_C-T_B),W_{BC}=0}$$

(C→D)

$$\boxed{Q_{CD}=0,W_{CD}=C_V(T_C-T_D)}$$

(D→A)

$$\boxed{Q_{DA}=C_V(T_A-T_D),W_{DA}=0}$$

(3)
熱源から吸収した熱量は $Q_{in}=Q_{DA}=C_V(T_A-T_D)$。
全仕事 $W_{total}=W_{AB}+W_{CD}=C_V(T_A-T_B+T_C-T_D)$。

$$\begin{array}{rl}\eta & =\frac{W_{total}}{Q_{in}}\\ & =1-\frac{T_B-T_C}{T_A-T_D}\end{array}$$

断熱過程において $T{V}^{\gamma -1}=\text{const}$ より，

$$\begin{array}{rl}{T}_A{V}_1^{\gamma -1}& =T_B{V}_2^{\gamma -1}\\ ⟹T_B& =T_A{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{T}_D{V}_1^{\gamma -1}& =T_C{V}_2^{\gamma -1}\\ ⟹T_C& =T_D{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\end{array}$$

よって $T_B-T_C=(T_A-T_D){\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}$ となる。これを代入して，

$$\eta =1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}$$

(証明終)

(4)
エネルギー等分配則より，自由度を $f$ とすると $C_V=\frac{f}{2}R,C_P=\frac{f+2}{2}R,\gamma =\frac{f+2}{f}$。
単原子分子は $f=3$。二原子分子は常温で $f=5$。

$$\boxed{\text{単原子分子: }\gamma =\frac{5}{3},\text{二原子分子: }\gamma =\frac{7}{5}}$$

(5)
$V_1/V_2=1/2$。
単原子分子の場合 ($\gamma -1=2/3$)：

$$\begin{array}{rl}{\eta }_1& =1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2/3}\\ & =1-\frac{1}{(2^{1/3}{)}^2}\\ & =1-\frac{1}{1.260^2}\\ & \approx 1-0.630\\ & =0.37\end{array}$$

二原子分子の場合 ($\gamma -1=2/5$)：

$$\begin{array}{rl}{\eta }_2& =1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2/5}\\ & =1-\frac{1}{(2^{1/5}{)}^2}\\ & =1-\frac{1}{1.149^2}\\ & \approx 1-0.757\\ & =0.24\end{array}$$ $$\boxed{\text{単原子分子の}\eta \approx 0.37,\text{二原子分子の}\eta \approx 0.24}$$

(6)
単原子分子は二原子分子より自由度が小さく比熱比$\gamma$が大きいため、同じ圧縮比でも断熱過程における温度変化の割合が大きくなる。その結果、吸熱時と放熱時の温度差が広がり、熱をより有効に仕事へ変換できるから。

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这是一道非常经典的大学物理热力学综合题。前半部分考察了热力学中基本关系式的推导，包括麦克斯韦关系式的运用，以及如何通过状态方程和偏导数推导出迈耶公式（定压热容和定容热容的差值）。这一部分强调了热力学全微分和状态参量之间严格的数学联系。后半部分则以奥托循环（Otto cycle）为基础，首先推导了绝热过程的泊松方程，随后将其运用到具体的循环过程中，计算各分支的功和热量，并推导出热机效率的表达式。最后结合能量均分定理，计算并比较了单原子气体和双原子气体在相同压缩比下的做功效率。定性分析中指出了气体分子自由度（比热比）如何直接影响绝热过程的温度变化，从而决定了宏观热机的效率大小。