0180-2017 东新复 机械 P80

考点 物理 力学 单谐振动 摩擦力

摩擦のある水平面に質点とみなせる物体A(質量$m$)を置き，質量の無視できるばね（ばね定数$k$）を介して壁につないだ．ばねが自然長より長さ$a$ ($a>0$) だけ伸びるように物体Aを移動し，時刻$t=0$に静かに手を離した．物体Aは，振幅を減衰させながら，水平面上で$N$回（$N>2$）の往復運動を終えた時点で静止した．以下の問に答えよ．ただし，物体Aと水平面との間には静止摩擦係数${\mu }_0$，動摩擦係数$\mu$ ($\mu <{\mu }_0$) の摩擦力が働くものとする．空気の抵抗は無視する．重力加速度の大きさを$g$と記す．

（問１）物体Aが動き始めるための$a$の条件を記せ．

（問２）物体Aが動き始めてから2回の往復運動を終えるまでに，ばねが伸縮した長さの時間変化をグラフに描け．

（問３）物体Aが$N$回の往復運動を終えた時点で静止するための$a$の条件を記せ．

（問４）物体Aが水平面に静止した時刻と，それまでの総移動距離を答えよ．

さらに，物体Aと同じ質量と摩擦係数をもつ物体Bを長さ$a$ ($a>0$) の紐を介して物体Aにつなぎ，図1のように$x$軸を定める．ばねの長さが自然長になる時の物体Aの位置を$x$軸の原点とする．ばねが自然長より長さ$a$だけ伸びるように物体Bを$x$軸の正方向に移動し，時刻$t=0$に静かに手を離した．すると，物体AとBは動き出し，しばらくした後に紐がたるみ，その後静止した．物体AとBがお互いにぶつかることはなかった．以下の問に答えよ．ただし，紐の質量は無視できるものとする．

（問５）紐が最初にたるんだ時刻を$t_1$ ($t_1>0$) とする．このときのばねの自然長からの長さを答えよ．

（問６）$\frac{6\mu mg}{k}=a$を満たす時，紐が最初にたるんだ時刻$t_1$と物体Bが静止した位置の座標を求めよ．

（問７）$\frac{6\mu mg}{k}=a$を満たす時，物体Aが静止した位置の座標を求めよ．

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解答：

（問１）

$$ka>{\mu }_{0}mg$$ $$\boxed{a>\frac{{\mu }_{0}mg}{k}}$$

（問２）

$$\text{角振動数を }\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\text{ とし、ばねの伸びを }x(t)\text{ とする。}$$

以下の極値を結ぶ、半周期ごとに振幅が $\frac{2\mu mg}{k}$ ずつ減少する減衰余弦曲線のグラフとなる。

$$\begin{array}{rlrl}t& =0\text{ のとき }& x& =at\\ & =\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\text{ のとき }& x& =-a+\frac{2\mu mg}{k}t\\ & =2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\text{ のとき }& x& =a-\frac{4\mu mg}{k}t\\ & =3\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\text{ のとき }& x& =-a+\frac{6\mu mg}{k}t\\ & =4\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\text{ のとき }& x& =a-\frac{8\mu mg}{k}\end{array}$$

（問３）

$$\text{左側の極値（}2N-1\text{ 回目の方向転換）で静止しない条件：}$$ $$k\left|-a+(4N-2)\frac{\mu mg}{k}\right|>{\mu }_{0}mg$$ $$\text{右側の極値（}2N\text{ 回目の方向転換）で静止する条件：}$$ $$k\left|a-4N\frac{\mu mg}{k}\right|\le {\mu }_{0}mg$$ $$\boxed{\frac{\mu mg}{k}(4N-2)+\frac{{\mu }_{0}mg}{k}<a\le \frac{\mu mg}{k}4N+\frac{{\mu }_{0}mg}{k}}$$

（問４）

$$\boxed{\text{時刻: }2N\pi \sqrt{\frac{m}{k}},\text{総移動距離: }4Na-\frac{8N^2\mu mg}{k}}$$

（問５）

$$\text{紐が張っている間のAとBの運動方程式は、紐の張力を }T\text{ として}$$ $$\begin{array}{rl}m{\ddot{x}}_A& =-k{x}_A+T+\mu mgm{\ddot{x}}_B\\ & =-T+\mu mg\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\ddot{x}}_A& ={\ddot{x}}_B\text{ より、これらを解くと }T\\ & =\frac{1}{2}k{x}_A\end{array}$$ $$\text{紐がたるむのは }T=0\text{ となるときなので、}{x}_A=0$$ $$\boxed{0}$$

（問６）

$$\text{AとBの共通の角振動数 }{\omega }^{\prime }=\sqrt{\frac{k}{2m}}$$ $$\text{振動の中心座標は }{x}_c=\frac{2\mu mg}{k}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_A(t)& =\frac{2\mu mg}{k}+\left(a-\frac{2\mu mg}{k}\right)\cos ({\omega }^{\prime }t)\\ & =\frac{2\mu mg}{k}+\frac{4\mu mg}{k}\cos ({\omega }^{\prime }t)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_A(t_1)& =0\\ ⟹\cos ({\omega }^{\prime }{t}_1)& =-\frac{1}{2}\\ ⟹{\omega }^{\prime }{t}_1& =\frac{2\pi }{3}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{t}_1& =\frac{2\pi }{3{\omega }^{\prime }}\\ & =\frac{2\pi }{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{時刻 }{t}_1\text{ での速さ }{v}_A(t_1)& =\left|-\frac{4\mu mg}{k}{\omega }^{\prime }\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\right|\\ & =\sqrt{\frac{6{\mu }^{2}m{g}^2}{k}}\end{array}$$

たるんだ後、Bは初速 $v_A(t_1)$ で左向きに滑り、動摩擦力 $\mu mg$ で減速する。

$$\begin{array}{rl}\text{滑る距離 }\Delta x_B& =\frac{v_A(t_1{)}^2}{2\mu g}\\ & =\frac{3\mu mg}{k}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_B& =a-\Delta x_B\\ & =\frac{6\mu mg}{k}-\frac{3\mu mg}{k}\\ & =\frac{3\mu mg}{k}\end{array}$$ $$\boxed{t_1=\frac{2\pi }{3}\sqrt{\frac{2m}{k}},x_B=\frac{3\mu mg}{k}}$$

（問７）

$$t_1\text{ 以降、A単独の振動の中心は }{x}_c^{\prime }=\frac{\mu mg}{k}$$ $$\text{振幅を }{A}^{\prime }\text{ とすると、エネルギー保存則より}$$ $$\frac{1}{2}m{v}_A(t_1{)}^2+\frac{1}{2}k{\left(0-\frac{\mu mg}{k}\right)}^2=\frac{1}{2}k{A}^{\prime 2}$$ $$A^{\prime }=\sqrt{7}\frac{\mu mg}{k}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_A& =x_c^{\prime }-A^{\prime }\\ & =\frac{\mu mg}{k}-\sqrt{7}\frac{\mu mg}{k}\end{array}$$ $$\boxed{(1-\sqrt{7})\frac{\mu mg}{k}}$$

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这道题目探讨了含有库仑摩擦力的弹簧振子模型。在库仑摩擦力存在的情况下，振子的运动可以看作是平衡位置不断交替偏移的简谐振动，其振幅随着每次半周期线性衰减。前四问是对单物体系统的经典推导，难点在于第三问对停止条件的准确表达，需要同时满足在最终极值点处弹簧恢复力小于最大静摩擦力，且在倒数上一个极值点处恢复力大于最大静摩擦力，以此建立不等式。后三问引入了由轻绳连接的双物体系统，此时需要对系统进行受力分析以求出绳子张力的表达式。张力与位移成正比，说明当弹簧恢复原长时绳子刚好松弛。绳子松弛后，两个物体解耦，分别在摩擦力作用下做匀减速直线运动和新的简谐振动。通过分别对两物体运用运动学公式和基于新平衡位置的能量守恒定律，即可求出它们最终静止的位置坐标。