0177-2017 东新复 数学 P77

线性代数 特征值与特征向量 矩阵的幂 谱分解

行列 $A$ を

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

とする．このとき，以下の問に答えよ．

(問 1) $A^2,A^3$ を求めよ．

(問 2) 行列 $A$ の固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ をすべて求めよ．ただし，${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le {\lambda }_3$ とする．

(問 3) 行列 $A$ の固有ベクトル ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ を求めよ．ただし，固有値 ${\lambda }_i$ に対する固有ベクトルを ${\mathbf{v}}_i$ とし，その長さは全て 1 とする．

(問 4) $i=1,2,3$ に対して，行列 $P_i$ を ${\mathbf{v}}_i{\mathbf{v}}_i^{\top }$ とする．ただし，${\mathbf{v}}_i^{\top }$ は ${\mathbf{v}}_i$ の転置とする．このとき，

$$A={\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2+{\lambda }_3{P}_3$$ $$E=P_1+P_2+P_3$$

であることを示せ．ただし，$E$ は単位行列とする．

(問 5) 正の整数 $n$ に対して，

$$A^n={\lambda }_1^n{P}_1+{\lambda }_2^n{P}_2+{\lambda }_3^n{P}_3$$

が成り立つことを証明せよ．

(問 6) 正の整数 $n$ に対して，$A^n$ を求めよ．

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解答：

(問 1)
行列の積を順次計算する．

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}18& 7& 7\\ 7& 6& 5\\ 7& 5& 6\end{array}\right)$$ $$A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{ccc}18& 7& 7\\ 7& 6& 5\\ 7& 5& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}86& 39& 39\\ 39& 24& 23\\ 39& 23& 24\end{array}\right)$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}{A}^2& =\left(\begin{array}{ccc}18& 7& 7\\ 7& 6& 5\\ 7& 5& 6\end{array}\right)\\ A^3& =\left(\begin{array}{ccc}86& 39& 39\\ 39& 24& 23\\ 39& 23& 24\end{array}\right)\end{array}}$$

(問 2)
特性方程式を解く．

$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -4& -1& -1\\ -1& \lambda -2& -1\\ -1& -1& \lambda -2\end{array}\right|=0$$ $$(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -5)=0$$ $$\lambda =1,2,5$$

条件 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le {\lambda }_3$ より，

$$\boxed{{\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=5}$$

(問 3)
固有方程式 $(A-{\lambda }_{i}E)\mathbf{x}=0$ を解き，解の長さを 1 に正規化する．
${\lambda }_1=1$ のとき，

$$\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\mathbf{x}=0⟹{\mathbf{v}}_1=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$

${\lambda }_2=2$ のとき，

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\mathbf{x}=0⟹{\mathbf{v}}_2=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

${\lambda }_3=5$ のとき，

$$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -3& 1\\ 1& 1& -3\end{array}\right)\mathbf{x}=0⟹{\mathbf{v}}_3=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

符号の選び方は任意であるが，一組を以下に示す．

$$\boxed{{\mathbf{v}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$$

(問 4)
直交行列 $V=({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3)$ と対角行列 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ を定義する．実対称行列の性質から $V^{\top }V=E$ であり，$V^{\top }AV=\Lambda$ すなわち $A=V\Lambda V^{\top }$ が成り立つ．

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1^{\top }\\ {\mathbf{v}}_2^{\top }\\ {\mathbf{v}}_3^{\top }\end{array}\right)$$

行列の積を展開すると，

$$A={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_1^{\top }+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_2^{\top }+{\lambda }_3{\mathbf{v}}_3{\mathbf{v}}_3^{\top }$$

したがって，

$$A={\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2+{\lambda }_3{P}_3$$

同様に $E=V{V}^{\top }$ について展開すると，

$$E=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1^{\top }\\ {\mathbf{v}}_2^{\top }\\ {\mathbf{v}}_3^{\top }\end{array}\right)={\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_1^{\top }+{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_2^{\top }+{\mathbf{v}}_3{\mathbf{v}}_3^{\top }$$

したがって，

$$E=P_1+P_2+P_3$$

(証明終)

(問 5)
数学的帰納法により証明する．
$n=1$ のときは問4により成立する．
$n=k$ で成立すると仮定する．

$$A^k={\lambda }_1^k{P}_1+{\lambda }_2^k{P}_2+{\lambda }_3^k{P}_3$$

${\mathbf{v}}_i$ は互いに直交する単位ベクトルであるため，${\mathbf{v}}_i^{\top }{\mathbf{v}}_j={\delta }_{ij}$ (クロネッカーのデルタ) が成り立つ．

$$P_i{P}_j={\mathbf{v}}_i{\mathbf{v}}_i^{\top }{\mathbf{v}}_j{\mathbf{v}}_j^{\top }={\mathbf{v}}_i({\delta }_{ij}){\mathbf{v}}_j^{\top }={\delta }_{ij}{P}_i$$

両辺に $A$ を掛ける．

$$A^{k+1}=A^{k}A=({\lambda }_1^k{P}_1+{\lambda }_2^k{P}_2+{\lambda }_3^k{P}_3)({\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2+{\lambda }_3{P}_3)$$

直交性 $P_i{P}_j={\delta }_{ij}{P}_i$ により，交差項は消滅する．

$$A^{k+1}={\lambda }_1^{k+1}{P}_1+{\lambda }_2^{k+1}{P}_2+{\lambda }_3^{k+1}{P}_3$$

よって $n=k+1$ のときも成立し，任意の正の整数 $n$ で成り立つ．
(証明終)

(問 6)
各射影行列 $P_1,P_2,P_3$ を具体的に計算する．

$$P_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$$ $$P_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$$ $$P_3=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 1& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$$

問5の結果と各固有値を代入する．

$$A^n=1^n{P}_1+2^n{P}_2+5^n{P}_3=P_1+2^n{P}_2+5^n{P}_3$$

各成分を足し合わせる．

$$\boxed{\begin{array}{r}{A}^n=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}{2}^{n+1}+4\cdot 5^n& -2^{n+1}+2\cdot 5^n& -2^{n+1}+2\cdot 5^n\\ -2^{n+1}+2\cdot 5^n& 3+2^{n+1}+5^n& -3+2^{n+1}+5^n\\ -2^{n+1}+2\cdot 5^n& -3+2^{n+1}+5^n& 3+2^{n+1}+5^n\end{array}\right)\end{array}}$$

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本题考查了实对称矩阵的特征值与特征向量求解以及谱分解定理的应用通过特征值对角化可以方便地将矩阵的幂运算转化为对角矩阵的幂运算而在谱分解的视角下可以将原矩阵表示为其在各个特征向量张成的一维子空间上的投影矩阵的线性组合这进一步简化了矩阵高次幂的表达式在求解特征向量时由于题目给定的矩阵是实对称矩阵不同特征值对应的特征向量天然正交我们只需要对求得的特征向量进行单位化即可得到标准正交基从而利用投影矩阵的正交性质快速推导矩阵幂的递推公式最终将相应的特征值和投影矩阵代入即可完成求解过程