0176-2017 东新复 数学 P76

微分积分 微积分 特殊函数 多重积分

以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

（問1）関数$\Gamma (s)$を

$$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx(s>0)$$

と定義する．以下の値を求めよ．ガウス積分${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$を用いてよい．
(1) $\Gamma (1)$
(2) $\Gamma (0.5)$

（問2）$s>0$に対して$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$となることを示せ．

（問3）関数$B(\alpha ,\beta )$を

$$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt(\alpha ,\beta >0)$$

と定義するとき，次式が成り立つことを示せ．

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx=\frac{1}{2}B\left(\frac{m+1}{2},\frac{n+1}{2}\right)(m,n>0)$$

（問4）多重積分

$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-x-y}{x}^{p-1}{y}^{q-1}dxdy(p,q>0)$$

を$x+y=u,\frac{x}{x+y}=v$と変数変換し，$I$を上記の関数$\Gamma ,B$で表現することにより，$\Gamma ,B$の間に次の関係式が成り立つことを示せ．

$$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$$

（問5）次の積分値を求めよ．（問1）〜（問4）の結果を用いてよい．

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

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解答：

（問1）
(1)

$$\begin{array}{rl}\Gamma (1)& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx\\ & ={\left[-e^{-x}\right]}_0^{\infty }\\ & =1\end{array}$$ $$\boxed{1}$$

(2)
$x=t^2$，$dx=2tdt$

$$\Gamma (0.5)={\int }_0^{\infty }(t^2{)}^{-0.5}{e}^{-t^2}2tdt$$ $$\begin{array}{rl}\Gamma (0.5)& =2{\int }_0^{\infty }{e}^{-t^2}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2}dt\\ & =\sqrt{\pi }\end{array}$$ $$\boxed{\sqrt{\pi }}$$

（問2）

$$\Gamma (s+1)={\int }_0^{\infty }{x}^s{e}^{-x}dx$$ $$\Gamma (s+1)={\left[-x^s{e}^{-x}\right]}_0^{\infty }-{\int }_0^{\infty }s{x}^{s-1}(-e^{-x})dx$$ $$\begin{array}{rl}\Gamma (s+1)& =s{\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\\ & =s\Gamma (s)\end{array}$$

(証明終)

（問3）
$t={\sin }^{2}x$，$dt=2\sin x\cos xdx$

$$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{2}x{)}^{\alpha -1}(1-{\sin }^{2}x{)}^{\beta -1}2\sin x\cos xdx$$ $$B(\alpha ,\beta )=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2\alpha -1}x{\cos }^{2\beta -1}xdx$$

$2\alpha -1=m,2\beta -1=n$

$$\alpha =\frac{m+1}{2}\beta =\frac{n+1}{2}$$ $$B\left(\frac{m+1}{2},\frac{n+1}{2}\right)=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$$ $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx=\frac{1}{2}B\left(\frac{m+1}{2},\frac{n+1}{2}\right)$$

(証明終)

（問4）

$$\begin{array}{rl}I& =\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{p-1}dx\right)\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-y}{y}^{q-1}dy\right)\\ & =\Gamma (p)\Gamma (q)\end{array}$$

$x=uv,y=u(1-v)$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}& =\det \left(\begin{array}{ccc}v& u1-v& -u\end{array}\right)\\ & =-u\end{array}$$ $$|J|=u$$ $$I={\int }_0^1{\int }_0^{\infty }{e}^{-u}(uv{)}^{p-1}(u(1-v){)}^{q-1}ududv$$ $$I=\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-u}{u}^{p+q-1}du\right)\left({\int }_0^1{v}^{p-1}(1-v{)}^{q-1}dv\right)$$ $$I=\Gamma (p+q)B(p,q)$$ $$\Gamma (p)\Gamma (q)=\Gamma (p+q)B(p,q)$$ $$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$$

(証明終)

（問5）

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$$ $$\frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)=\frac{\Gamma (5/2)\Gamma (3/2)}{2\Gamma (4)}$$ $$\Gamma (4)=3\cdot 2\cdot 1\cdot \Gamma (1)=6$$ $$\begin{array}{rl}\Gamma (3/2)& =\frac{1}{2}\Gamma (0.5)\\ & =\frac{\sqrt{\pi }}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\Gamma (5/2)& =\frac{3}{2}\Gamma (3/2)\\ & =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\frac{3\sqrt{\pi }}{4}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}}{2\cdot 6}& =\frac{\frac{3\pi }{8}}{12}\\ & =\frac{\pi }{32}\end{array}$$ $$\boxed{\frac{\pi }{32}}$$

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这道题目系统地考察了微积分中特殊的欧拉积分，即伽马函数与贝塔函数的定义、性质以及它们之间的重要关联。第一题利用变量代换将半整数的伽马函数积分转化为经典的高斯积分求解，是处理伽马函数的常见技巧。第二题使用分部积分法推导出伽马函数的递推关系，这是计算任意正半整数和正整数伽马值的基础。第三题通过三角换元将贝塔函数与三角函数的高次幂积分巧妙地联系起来，提供了一种求解复杂三角定积分的捷径。第四题是整个问题的核心，通过构造二重积分并在直角坐标系和变换后的新坐标系下分别求解，计算雅可比行列式完成多重积分的变量代换，从而从解析角度严格证明了贝塔函数和伽马函数之间的转化公式。最后一题则综合应用了前四问推导出的递推关系和转化公式，将原本繁琐的三角函数定积分化简为几个已知伽马值的简单代数运算，充分展现了特殊函数在微积分运算中的工具性价值。