0173-2016 东新复 数学 P60

概率统计 概率论 连续型随机变量 边缘概率密度 条件概率密度 卷积公式

実数値を取る確率変数 $X$ の確率密度関数 $p_X(x)$，実数値を取る確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数 $p_{Y|X}(y|x)$，実数値を取る確率変数 $Z$ の確率密度関数 $p_Z(z)$ がそれぞれ

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^{-4}& (x\ge 1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}(1)$$ $$p_{Y|X}(y|x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{-1}& (0\le y\le x)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$ $$p_Z(z)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le z\le 1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

で与えられるとき，以下の問に答えよ．

(問1) 式(1)の $c$ の値を求めよ．

(問2) $X$ の期待値と分散を求めよ．

(問3) $p_X(x)$ の累積分布関数を求めよ．

(問4) $Y$ の周辺確率密度関数 $p_Y(y)$ を求めよ．

(問5) $Y$ が与えられたもとでの $X$ の条件付き確率密度関数 $p_{X|Y}(x|y)$ を求めよ．

(問6) $X$ と $Z$ が独立なとき，$U=X+Z$ の確率密度関数 $p_U(u)$ を求めよ．

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解答：

(問1) 確率密度関数の全区間での積分値は $1$ となるため

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{\infty }c{x}^{-4}dx& ={\left[-\frac{c}{3}{x}^{-3}\right]}_1^{\infty }\\ & =\frac{c}{3}\\ & =1\end{array}$$ $$\boxed{c=3}$$

(問2) 期待値 $E[X]$ は

$$\begin{array}{rl}E[X]& ={\int }_1^{\infty }x\cdot 3x^{-4}dx\\ & ={\int }_1^{\infty }3x^{-3}dx\\ & ={\left[-\frac{3}{2}{x}^{-2}\right]}_1^{\infty }\\ & =\frac{3}{2}\end{array}$$

分散 $V[X]$ を求めるため、まず $E[X^2]$ を計算する

$$\begin{array}{rl}E[X^2]& ={\int }_1^{\infty }{x}^2\cdot 3x^{-4}dx\\ & ={\int }_1^{\infty }3x^{-2}dx\\ & ={\left[-3x^{-1}\right]}_1^{\infty }\\ & =3\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V[X]& =E[X^2]-(E[X]{)}^2\\ & =3-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$ $$\boxed{E[X]=\frac{3}{2},V[X]=\frac{3}{4}}$$

(問3) $x<1$ のとき、積分範囲における確率密度は $0$ である。$x\ge 1$ のとき、累積分布関数 $F_X(x)$ は

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& ={\int }_1^{x}3t^{-4}dt\\ & ={\left[-t^{-3}\right]}_1^x\\ & =1-x^{-3}\end{array}$$ $$\boxed{F_X(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^{-3}& (x\ge 1)\\ 0& (x<1)\end{array}}$$

(問4) 同時確率密度関数 $p_{X,Y}(x,y)$ は $x\ge 1$ かつ $0\le y\le x$ の領域で

$$\begin{array}{rl}{p}_{X,Y}(x,y)& =p_{Y|X}(y|x)p_X(x)\\ & =x^{-1}\cdot 3x^{-4}\\ & =3x^{-5}\end{array}$$

周辺確率密度関数 $p_Y(y)$ は、$x$ について $\max (1,y)$ から $\infty$ まで積分して求める。
$0\le y<1$ のとき、$x$ の積分範囲は $1\le x<\infty$ となる。

$$\begin{array}{rl}{p}_Y(y)& ={\int }_1^{\infty }3x^{-5}dx\\ & ={\left[-\frac{3}{4}{x}^{-4}\right]}_1^{\infty }\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$

$y\ge 1$ のとき、$x$ の積分範囲は $y\le x<\infty$ となる。

$$\begin{array}{rl}{p}_Y(y)& ={\int }_y^{\infty }3x^{-5}dx\\ & ={\left[-\frac{3}{4}{x}^{-4}\right]}_y^{\infty }\\ & =\frac{3}{4}{y}^{-4}\end{array}$$ $$\boxed{p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{4}& (0\le y<1)\\ \frac{3}{4}{y}^{-4}& (y\ge 1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}}$$

(問5) $p_{X|Y}(x|y)=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}$ の定義を用いる。
$0\le y<1$ のとき、$p_Y(y)=\frac{3}{4}$ であり、$x\ge 1$ において

$$p_{X|Y}(x|y)=\frac{3x^{-5}}{3/4}=4x^{-5}$$

$y\ge 1$ のとき、$p_Y(y)=\frac{3}{4}{y}^{-4}$ であり、$x\ge y$ において

$$\begin{array}{rl}{p}_{X|Y}(x|y)& =\frac{3x^{-5}}{\frac{3}{4}{y}^{-4}}\\ & =4y^4{x}^{-5}\end{array}$$ $$\boxed{p_{X|Y}(x|y)=\{\begin{array}{ll}4x^{-5}& (0\le y<1\text{ かつ }x\ge 1)\\ 4y^4{x}^{-5}& (y\ge 1\text{ かつ }x\ge y)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}}$$

(問6) 独立な確率変数の和の分布は畳み込み積分 $p_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(x)p_Z(u-x)dx$ で与えられる。
非零となる条件は $x\ge 1$ かつ $0\le u-x\le 1$ より、$u-1\le x\le u$ である。
したがって積分範囲は $\max (1,u-1)$ から $u$ となる。
$u<1$ のとき、積分範囲が存在せず $p_U(u)=0$。
$1\le u<2$ のとき、積分範囲は $[1,u]$ となる。

$$\begin{array}{rl}{p}_U(u)& ={\int }_1^{u}3x^{-4}\cdot 1dx\\ & ={\left[-x^{-3}\right]}_1^u\\ & =1-u^{-3}\end{array}$$

$u\ge 2$ のとき、積分範囲は $[u-1,u]$ となる。

$$\begin{array}{rl}{p}_U(u)& ={\int }_{u-1}^{u}3x^{-4}\cdot 1dx\\ & ={\left[-x^{-3}\right]}_{u-1}^u\\ & =(u-1{)}^{-3}-u^{-3}\end{array}$$ $$\boxed{p_U(u)=\{\begin{array}{ll}1-u^{-3}& (1\le u<2)\\ (u-1{)}^{-3}-u^{-3}& (u\ge 2)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}}$$

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补充：

这是一道非常经典的连续型二维随机变量的综合解答题，全面考察了概率论中的核心知识点。第一问到第三问是关于单变量的常规操作，通过概率密度函数在全空间积分等于一的正则性很容易求出待定系数，并利用连续积分顺利推导出期望、方差与累积分布函数。第四问和第五问进入了多维变量的应用，计算边缘概率密度与条件概率密度的难点并不在于积分本身，而在于如何正确寻找积分边界。通过联合分布非零区间的约束条件，可以划定二维平面的支持域，当针对特定变量求积分时，必须根据图形边界的分段情况来设定正确的积分上下限。第六问利用卷积公式求解独立随机变量和的分布，同样要求通过分析两个函数非零区间的交集来确定复合后的定义域。这种需要对不等式边界进行细致分类讨论的计算极易出错，在解题时通常建议在草稿纸上画出变量关系的区间图，通过几何直观来辅助确定积分范围。