0172-2016 东新复 数学 P59

常微分方程 离散傅里叶变换 系统稳定性 循环矩阵

時刻 $t$ に関する $N$ 個の実関数 $x_j(t)$，$j=0,1,\dots ,N-1$ についての微分方程式

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_j(t)+a{x}_j(t)& =\frac{b}{2}[x_{j-1}(t)+x_{j+1}(t)],j\\ & =0,1,\dots ,N-1(1)\end{array}$$

を考える．ただし $N$ は正の偶数であり，$a,b$ は実数である．時刻 $t=0$ における初期値 $x_j(0)$ について，

$$\begin{array}{rl}{x}_j(0)& \ne 0,\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j(0)\\ & \ne 0,\sum _{j=0}^{N-1}(-1{)}^j{x}_j(0)\\ & \ne 0(2)\end{array}$$

とする．また $j$ に関しては周期的境界条件を用い，$x_{-1}(t)=x_{N-1}(t)$, $x_N(t)=x_0(t)$ とする．以下の問に答えよ．

(問1) 式(1)で $b=0$ としたとき，$x_j(t)$ を $x_j(0)$ を用いて示せ．

(問2) (問1)で求めた $x_j(t)$ に関して，$\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_j(t)=0$ となる $a$ の条件を求めよ．

これ以降，式(1)の $b$ は $0$ と限らないとする．

(問3) $N$ 個の実関数 $\{x_j(t){\}}_{j=0}^{N-1}$ の平均値 $x(t)$ を以下のように定義する．

$$x(t)=\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j(t)(3)$$

式(1)と(3)を用いて，$x(t)$ が満たす微分方程式を求めよ．また，$\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=0$ となるために，$a$ と $b$ が満たす条件を求めよ．

(問4) $x_j(t)$ の離散フーリエ変換 $X_k(t)$ を以下の式で定義する．

$$\begin{array}{rl}{X}_k(t)& =\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{kj}{N}\right)x_j(t),k\\ & =0,1,\dots ,N-1(4)\end{array}$$

ここで $\mathrm{i}$ は虚数単位である．式(1)と(4)を用いて，$X_k(t)$ が満たす微分方程式を求めよ．

(問5) 全ての $j$ について，$\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_j(t)=0$ となるために，$a$ と $b$ が満たす条件を求めよ．必要ならば，式(5)を用いてもよい．

$$\begin{array}{rl}{x}_j(t)& =\sum _{k=0}^{N-1}\exp \left(-2\pi \mathrm{i}\frac{kj}{N}\right)X_k(t),j\\ & =0,1,\dots ,N-1(5)\end{array}$$

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解答：
(問1) 式(1)に $b=0$ を代入すると以下の微分方程式を得る。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_j(t)+a{x}_j(t)=0$$

これを解いて $x_j(t)$ を求める。

$$\boxed{x_j(t)=x_j(0)e^{-at}}$$

(問2) 問1の解について、式(2)より $x_j(0)\ne 0$ であるため、$\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_j(t)=0$ となるには指数関数部分が $0$ に収束する必要がある。

$$\boxed{a>0}$$

(問3) 式(1)の両辺について $j=0$ から $N-1$ まで和をとり、$N$ で割る。

$$\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_j(t)+\frac{a}{N}\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j(t)=\frac{b}{2N}\sum _{j=0}^{N-1}[x_{j-1}(t)+x_{j+1}(t)]$$

周期的境界条件 $x_{-1}(t)=x_{N-1}(t),x_N(t)=x_0(t)$ を用いて和の順序を入れ替えると以下が成り立つ。

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=0}^{N-1}{x}_{j-1}(t)& =\sum _{j=0}^{N-1}{x}_{j+1}(t)\\ & =\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j(t)\\ & =Nx(t)\end{array}$$

よって、求める微分方程式は以下のように整理される。

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)+(a-b)x(t)=0}$$

この微分方程式の解は $x(t)=x(0)e^{-(a-b)t}$ となる。式(2)より $x(0)=\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j(0)\ne 0$ であるため、$\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=0$ となる条件は以下の通りである。

$$\boxed{a>b}$$

(問4) 式(1)の両辺に $\frac{1}{N}\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{kj}{N}\right)$ を掛け、$j$ について和をとる。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{X}_k(t)+a{X}_k(t)=\frac{b}{2N}\sum _{j=0}^{N-1}\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{kj}{N}\right)[x_{j-1}(t)+x_{j+1}(t)]$$

右辺の和は周期的境界条件により以下のように変形できる。

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=0}^{N-1}\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{kj}{N}\right)x_{j-1}(t)& =\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{k}{N}\right)\sum _{j=0}^{N-1}\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{k(j-1)}{N}\right)x_{j-1}(t)\\ & =\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{k}{N}\right)N{X}_k(t)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\sum _{j=0}^{N-1}\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{kj}{N}\right)x_{j+1}(t)& =\exp \left(-2\pi \mathrm{i}\frac{k}{N}\right)\sum _{j=0}^{N-1}\exp \left(2\pi \mathrm{i}\frac{k(j+1)}{N}\right)x_{j+1}(t)\\ & =\exp \left(-2\pi \mathrm{i}\frac{k}{N}\right)N{X}_k(t)\end{array}$$

オイラーの公式 $\exp (\mathrm{i}\theta )+\exp (-\mathrm{i}\theta )=2\cos \theta$ を用いると右辺は $b\cos \left(\frac{2\pi k}{N}\right)X_k(t)$ となる。したがって微分方程式は以下の通りである。

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{X}_k(t)+\left[a-b\cos \left(\frac{2\pi k}{N}\right)\right]X_k(t)=0}$$

(問5) 問4で求めた微分方程式の解は以下の通りである。

$$X_k(t)=X_k(0)\exp \left(-\left[a-b\cos \left(\frac{2\pi k}{N}\right)\right]t\right)$$

式(5)より、全ての $j$ について $x_j(t)\to 0$ となるためには、全ての $k$ について $X_k(t)\to 0$ となる必要がある。式(2)の初期条件について、$k=0$ および $N$ が偶数であることから整数となる $k=N/2$ の初期値を調べる。

$$X_0(0)=\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j(0)\ne 0$$ $$\begin{array}{rl}{X}_{N/2}(0)& =\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}\exp (\pi \mathrm{i}j)x_j(0)\\ & =\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}(-1{)}^j{x}_j(0)\\ & \ne 0\end{array}$$

少なくともこの2つの成分は $0$ ではないため、これらが $0$ に収束することが必要条件となる。$k=0$ のとき $\cos (0)=1$ より $a-b>0$ となり、$k=N/2$ のとき $\cos (\pi )=-1$ より $a+b>0$ となる。これを統合すると $a>|b|$ である。またこのとき、任意の $k$ について $a-b\cos \left(\frac{2\pi k}{N}\right)\ge a-|b|>0$ が成り立つため、他の全ての $X_k(t)$ も $0$ に収束し十分条件も満たす。

$$\boxed{a>|b|}$$

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补充：
本题考察了线性常微分方程组的求解以及系统稳定性的分析，其物理背景可以看作是具有周期边界条件的一维晶格模型中的扩散或耦合振子过程。由于方程中存在空间平移上的相邻耦合项，直接在时域域进行求解较为困难。引入离散傅里叶变换的本质是利用系统平移不变的对称性，寻找到循环矩阵的本征向量基底，从而将原本相互耦合的常微分方程组在频域完全对角化，转化为各个空间频率下独立的一阶常微分方程。

题目中给定的三个非零初始条件非常精妙地锁定了频域中最关键的两个模态。各项求和非零确保了直流分量对应的振幅不为零，而交错求和非零则利用了晶格格点数为偶数的特性，确保了空间变化最为剧烈的最高频交变分量对应的振幅不为零。这两个极端频域分量刚好对应了耦合系统中衰减最慢和最快的两种模式。通过计算可以发现，只要这两种极端情况下的特征值实部满足衰减条件，即同时满足大于两者相关系数差值与和值的要求，就可以根据余弦函数的有界特性顺理成章地推导出统合参数绝对值的最终结论，这也保证了系统中间频率的其他所有空间模态必定会随时间自然衰减至零。