0171-2016 东新复 数学 P58

线性代数 行列式 矩阵的秩 特征值与特征向量

次の3次正方行列 $A,B,C$ を考える.

$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{ccccccc}x& 4-x^2& 01& x-1& x+20& x-2& x\end{array}\right)B\\ & =\left(\begin{array}{ccccccc}1& 2& 34& 5& 67& 8& 0\end{array}\right)C\\ & =\left(\begin{array}{ccccccc}1& 2& 34& 5& 67& 8& 9\end{array}\right)\end{array}$$

このとき，以下の問に答えよ.

(問1) 行列 $A$ の行列式 $\det A$ を求めよ. さらに，$\det A=0$ をみたす $x$ を全て求めよ.

(問2) (問1)で求めた全ての $x$ に対して，$A$ の階数 $\mathrm{rank}A$ を求めよ.

(問3) $\det A,\det (AB),\det (BA)$ の $x$ に関する次数を求めよ.

(問4) $\det (AC)$ および $\det (CA)$ を求めよ.

(問5) 行列 $A$ の固有値を全て求めよ.

(問6) (問5)で求めた固有値のうち，重複度が $1$ である固有値に対する固有ベクトルを求めよ.

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解答：

(問1)
行列 $A$ の第1列についての余因子展開により、

$$\det A=x\left|\begin{array}{cc}x-1& x+2\\ x-2& x\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}4-x^2& 0\\ x-2& x\end{array}\right|$$ $$\det A=x(x(x-1)-(x+2)(x-2))-x(4-x^2)$$ $$\begin{array}{rl}\det A& =x(x^2-x-x^2+4)-4x+x^3\\ & =x(4-x)-4x+x^3\end{array}$$ $$\boxed{\det A=x^3-x^2}$$

$\det A=0$ のとき $x^2(x-1)=0$ となるため、

$$\boxed{x=0,1}$$

(問2)
$x=0$ のとき、

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 0\\ 1& -1& 2\\ 0& -2& 0\end{array}\right)$$

第1行は第3行の定数倍であり一次従属、また第1列と第2列は一次独立であるため、

$$\boxed{\mathrm{rank}A=2(x=0)}$$

$x=1$ のとき、

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 1& 0& 3\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$$

$\det A=0$ より $\mathrm{rank}A\le 2$ である。左上の2次小行列式は $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\end{array}\right|=-3\ne 0$ であるため、

$$\boxed{\mathrm{rank}A=2(x=1)}$$

(問3)
行列式の性質 $\det (AB)=\det (BA)=\det A\det B$ を用いる。

$$\det B=1(0-48)-2(0-42)+3(32-35)=27$$

$\det B$ は $0$ でない定数であるため、$\det A,\det (AB),\det (BA)$ はいずれも $x^3$ の項を持ち、その係数は $0$ ではない。

$$\boxed{\text{全て }3}$$

(問4)
行列 $C$ の第2行から第1行を引いたベクトルと、第3行から第2行を引いたベクトルはともに $(3,3,3)$ となり、行ベクトルが一次従属であるため $\det C=0$ である。

$$\boxed{\det (AC)=0,\det (CA)=0}$$

(問5)
$A$ の固有多項式を求める。

$$\det (\lambda I-A)=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -x& -(4-x^2)& 0\\ -1& \lambda -x+1& -(x+2)\\ 0& -(x-2)& \lambda -x\end{array}\right|$$

$\mu =\lambda -x$ とおく。

$$\det (\lambda I-A)=\left|\begin{array}{ccc}\mu & x^2-4& 0\\ -1& \mu +1& -x-2\\ 0& 2-x& \mu \end{array}\right|$$

第1列で展開する。

$$\det (\lambda I-A)=\mu (\mu (\mu +1)-(-x-2)(2-x))+1(\mu (x^2-4))$$ $$\begin{array}{rl}\det (\lambda I-A)& =\mu ({\mu }^2+\mu -(x^2-4))+\mu (x^2-4)\\ & ={\mu }^3+{\mu }^2\\ & ={\mu }^2(\mu +1)\end{array}$$

$\mu$ を元に戻す。

$$\begin{array}{rl}\det (\lambda I-A)& =(\lambda -x{)}^2(\lambda -x+1)\\ & =0\end{array}$$ $$\boxed{\lambda =x,x-1}$$

(問6)
重複度が1の固有値は $\lambda =x-1$ である。対応する固有ベクトルを $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$ とおく。

$$\begin{array}{rl}((x-1)I-A)\mathbf{v}& =\left(\begin{array}{ccccccc}-1& x^2-4& 0-1& 0& -x-20& -x+2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1{v}_2{v}_3\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}000\end{array}\right)\end{array}$$

連立方程式を立てる。

$$-v_1+(x^2-4)v_2=0$$ $$(2-x)v_2-v_3=0$$

$v_2=1$ とおくと、$v_1=x^2-4,v_3=2-x$ となる。定数 $c$ を用いて表す。

$$\boxed{c\left(\begin{array}{c}{x}^2-4\\ 1\\ 2-x\end{array}\right)(c\ne 0)}$$

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补充：

这道题全面涵盖了线性代数中的核心计算技巧。第一问处理含有未知数的三阶行列式时，直接利用矩阵元素中的零进行拉普拉斯展开是最有效的降阶方式。第二问检验了矩阵的秩的具体求法，寻找非零最高阶子式即可快速确定秩的大小。第三和第四问考察方阵乘积的行列式定理，这里观察到矩阵 C 的行向量构成了等差数列，因此可以直接判断出其行列式为零，大大缩减了不必要的乘法计算量。在求解第五问的特征多项式时，引入一个代换参数不仅可以精简表达式，也能减少代数展开过程中的符号错误。最后一问求解基础解系时，通过提取前两行或后两行的比例关系来给定其中一个分量的值，进而反推其余分量，这是一种标准的通解计算流程。