0170-2016 东新复 数学 P57

微分积分 微积分 泰勒展开 极限 近似积分

以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

（問1）以下の関数の$4$次の導関数をそれぞれ求めよ．
(1) $f(x)=e^x\cos x$
(2) $f(x)=\tan x$

（問2）以下の関数を$x=0$のまわりで$4$次の項までTaylor展開せよ．ただし，$q$は実数である．
(1) $f(x)=e^x\cos x$
(2) $f(x)=(1+x{)}^q$
(3) $f(x)={\log }_e(1+x)$

（問3）以下の極限値を求めよ．（問2）の結果を用いてもよい．
(1) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x\cos x-1}{\tan x}$
(2) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_e(1+x^2)}{1-\cos x}$

（問4）以下の積分値を誤差$0.01$以内で求めよ．（問2）の結果を用いてもよい．

$${\int }_0^{1/2}\frac{1}{(1+x^3{)}^2}dx$$

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解答：

（問1）
(1)

$$f(x)=e^x\cos x$$ $$f^{\prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x)$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)& =e^x(\cos x-\sin x-\sin x-\cos x)\\ & =-2e^x\sin x\end{array}$$ $$f^{\prime \prime \prime }(x)=-2e^x(\sin x+\cos x)$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{(4)}(x)& =-2e^x(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)\\ & =\boxed{-4e^x\cos x}\end{array}$$

(2)

$$f(x)=\tan x$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)& =2\tan x(1+{\tan }^{2}x)\\ & =2\tan x+2{\tan }^{3}x\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime \prime }(x)& =2(1+{\tan }^{2}x)+6{\tan }^{2}x(1+{\tan }^{2}x)\\ & =2+8{\tan }^{2}x+6{\tan }^{4}x\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{(4)}(x)& =16\tan x(1+{\tan }^{2}x)+24{\tan }^{3}x(1+{\tan }^{2}x)\\ & =\boxed{16\tan x+40{\tan }^{3}x+24{\tan }^{5}x}\end{array}$$

（問2）
(1)
（問1）の結果より，$f(0)=1,f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)=0,f^{\prime \prime \prime }(0)=-2,f^{(4)}(0)=-4$ であるから，

$$f(x)=\boxed{1+x-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{6}{x}^4}$$

(2)

$$f(x)=\boxed{1+qx+\frac{q(q-1)}{2}{x}^2+\frac{q(q-1)(q-2)}{6}{x}^3+\frac{q(q-1)(q-2)(q-3)}{24}{x}^4}$$

(3)

$$f(x)=\boxed{x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4}$$

（問3）
(1)
（問2）の結果より，$x\to 0$ のとき $e^x\cos x-1=x+o(x)$，$\tan x=x+o(x)$ であるから，

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x\cos x-1}{\tan x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+o(x)}{x+o(x)}\\ & =\boxed{1}\end{array}$$

(2)
（問2）の結果を用いて $x^2$ を代入すると，${\log }_e(1+x^2)=x^2+o(x^2)$，$1-\cos x=\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)$ であるから，

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_e(1+x^2)}{1-\cos x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+o(x^2)}{\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)}\\ & =\boxed{2}\end{array}$$

（問4）
（問2）の(2)において $q=-2$ とし，$x$ を $x^3$ で置き換えると，

$$(1+x^3{)}^{-2}=1-2x^3+3x^6-4x^9+\cdots$$

したがって，求める積分値は

$${\int }_0^{1/2}\frac{1}{(1+x^3{)}^2}dx={\int }_0^{1/2}(1-2x^3+3x^6-4x^9+\cdots )dx$$ $$={\left[x-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{7}{x}^7-\frac{2}{5}{x}^{10}+\cdots \right]}_0^{1/2}$$ $$=\frac{1}{2}-\frac{1}{32}+\frac{3}{896}-\cdots$$

これは交代級数であり，各項の絶対値は単調に減少して$0$に収束するため，打ち切り誤差は最初に切り捨てた項の絶対値以下となる．
第3項の絶対値は $\frac{3}{896}\approx 0.0033<0.01$ であるから，誤差を $0.01$ 以内にするには第2項まで計算すればよい．
よって，求める積分値の近似値は

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{32}=\boxed{\frac{15}{32}}$$

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补充：
这道题综合考查了微积分的几个核心应用。首先是基本初等函数的高阶导数计算，对于带有三角函数和指数函数的乘积求导，需要熟练应用乘积法则。其次是泰勒展开（麦克劳林级数）的应用。除了通过求各阶导数值进行直接展开外，更常用也更简便的方法是利用已有的标准展开式进行组合与代换，例如求对数或指数函数的复合展开。

在极限计算部分，泰勒展开提供了一种比洛必达法则更直观、更不易出错的方法。只需将分子和分母展开到非零的最低次项即可迅速化简求出极限值。对于近似积分计算，被积函数如果无法用基本函数表示或者计算困难，可以将其转化为幂级数再逐项积分。在这个过程中，若级数满足交错级数的条件，截断误差的上界能够被直接确定为首个被舍弃项的绝对值，从而能够轻易判断出为了达到指定精度需要保留几项进行计算。