質点とみなすことのできる質量 の球 の運動について考える．重力加速度は とする．
(問1) 図1のように45度に傾斜した斜面 が水平な地面に接している．地面から高さ の位置から球 を初速0で落下させたところ，高さ の位置で斜面 に衝突した．以下の問に答えよ．衝突は鏡面反射で，その際の反発係数は1とする．
(1) 斜面 に衝突した直後の球 の速さを求めよ．
(2) 斜面 に一度衝突した後，球 が再び斜面 に衝突しない条件を求めよ．
(3) 球 が斜面 に一度衝突した後に地面に着地した．ある に対して，着地点が初期位置から水平方向に最も離れる の条件と，この条件で着地した時の球 の速度が地面となす角を求めよ．
(問2) 図2に示すような ( は正の定数) という回転放物面で表される壁面の内面に沿って球 が運動している．以下の問に答えよ．摩擦は無視する．
(1) 球 が高さ を保って周回しているとき，球 の速さを求めよ．
(2) (1)の運動をしている球 を，その速度方向に背後から叩いて瞬間的に2倍の速さまで加速したところ，球 は壁面の内面を周回しながら上下に振動を始めた．球 の最高到達点の高さを求めよ．
解答：
(問1)
(1) 力学的エネルギー保存則より，衝突直前の速さを とすると，
斜面 の傾斜は であり，反発係数が1の鏡面反射であるため，衝突直後の速度は水平方向となる．その速さ は衝突直前の速さと等しい．
(2) 斜面と地面の交点を原点とし，水平右向きに 軸，鉛直上向きに 軸をとる．
衝突位置は であり，衝突直後の速度は である．
球 の軌道の方程式は，時間 を用いて次のように表される．
斜面の方程式は である．再び斜面に衝突しないための条件は，地面に到達するまで常に を満たすことである．
球 が地面に到達する時間 は より，
再び斜面に衝突しない条件は であるから，
両辺を2乗して整理する．
(3) 水平方向の移動距離 は次のように表される．
が最大となるのは，相加・相乗平均の関係または平方完成より，
のときである（これは(2)の条件を満たす）．
このとき，着地時の水平方向の速度成分は ，鉛直方向の速度成分は である．
したがって，速度が地面となす角 は より，
(問2)
(1) 球 の回転半径を とすると， より である．
放物面 の傾きは である．
面からの垂直抗力を とし，壁面の接線が水平面となす角を とすると， である．
運動方程式は以下のようになる．
これらより，
(2) 加速後の初速を とすると， である．
摩擦が働かないため，力学的エネルギーと中心軸周りの角運動量が保存される．
初期の角運動量 と力学的エネルギー は以下の通りである．
最高到達点 では，軌道の半径方向および鉛直方向の速度成分が0となり，速度は円周方向成分 のみとなる．
回転半径 として，角運動量保存則より，
力学的エネルギー保存則より，
両辺を で割り， をかけて整理する．
は最低到達点（初期位置）であるため，最高到達点の高さは，
这道题目主要考察了经典力学中的平抛运动、斜面碰撞以及曲面上的守恒定律。第一问中小球从静止落下并与45度斜面发生弹性碰撞，根据镜面反射的性质，竖直向下的速度会完全转化为水平方向的速度。为了让小球不再撞击斜面，需要保证小球在平抛运动下落到地面前其竖直坐标始终大于斜面对应位置的竖直坐标，通过联立运动方程解出时间的不等式即可得到临界高度关系。求最大水平距离时，将其表示为关于抛出点高度的二次函数并利用基本不等式求极值即可。第二问考察了旋转抛物面内的圆周运动，当小球保持恒定高度作匀速圆周运动时，重力与法向支持力的合力提供向心力，利用曲面导数求出切线斜率即可得出速度表达式。速度瞬间加倍后小球受力不再平衡从而产生震荡，由于不受摩擦且支持力过自转轴，小球的力学能和关于中心轴的角动量守恒，联立最高点处只有切向速度的条件，求解二次方程便能得到最高点的高度。