0167-2015 东新复 数学 P43

概率统计 概率论与数理统计 离散型随机变量 负二项分布

非負整数を値にとる確率変数 $X$ が，任意の非負整数 $n$ と $0<p<1$ に対して，次式を満たすものとする．

$$\mathrm{Pr}\{X\ge n+1\}=\mathrm{Pr}\{X\ge n\}\times \mathrm{Pr}\{X\ge 1\}$$ $$\mathrm{Pr}\{X\ge 1\}=p$$

$P_p(n)$ と $Q_p(n)$ をそれぞれ $P_p(n)=\mathrm{Pr}\{X\ge n\},Q_p(n)=\mathrm{Pr}\{X=n\}$ と定義する．このとき，非負整数 $n$ に対して以下の問に答えよ．

(問1) $P_p(n)$ と $Q_p(n)$ を求めよ．

(問2) 毎回独立に $0.1$ の確率で生起する事象が初めて生起するまでの試行回数を $S$ とする．$\mathrm{Pr}\{S=n\}$ を $Q_p(n)$ を用いて表せ．

(問3) $X_1,X_2$ が $X$ と同じ確率分布をもち，互いに独立であるとする．また，$Y$ を $Y=X_1+X_2$ と定義する．このとき，$0\le m\le n$ を満たす整数 $m$ と $n$ に対して，$\mathrm{Pr}\{X_1=m\}\times \mathrm{Pr}\{X_2=n-m\}$ を求めよ．さらに，$\mathrm{Pr}\{Y=n\}$ を求めよ．

(問4) $X_1,X_2,\cdots ,X_r$ が $X$ と同じ確率分布をもち，互いに独立であるとする．また，$Z$ を $Z=X_1+X_2+\cdots +X_r$ と定義する．このとき，$\mathrm{Pr}\{Z=n\}$ を求めよ．

(問5) 毎回独立に $0.1$ の確率で生起する事象が $r$ 回生起するまでに必要な試行回数を $U$ とする．このとき，$\mathrm{Pr}\{U=n\}$ を求めよ．

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解答：

(問1)

$$P_p(n+1)=P_p(n)P_p(1)$$ $$P_p(0)=\mathrm{Pr}\{X\ge 0\}=1P_p(1)=p$$ $$P_p(n)=\boxed{p^n}$$ $$Q_p(n)=P_p(n)-P_p(n+1)$$ $$Q_p(n)=p^n-p^{n+1}=\boxed{p^n(1-p)}$$

(問2)

$$S\ge 1$$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}(S=n)& =(1-0.1{)}^{n-1}\times 0.1\\ & =0.9^{n-1}\times 0.1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{Q}_{0.9}(n-1)& =0.9^{n-1}(1-0.9)\\ & =0.9^{n-1}\times 0.1\end{array}$$ $$\mathrm{Pr}\{S=n\}=\boxed{Q_{0.9}(n-1)}$$

(問3)

$$\mathrm{Pr}\{X_1=m\}\times \mathrm{Pr}\{X_2=n-m\}=Q_p(m)Q_p(n-m)$$ $$\begin{array}{rl}& =p^m(1-p)\times p^{n-m}(1-p)\\ & =\boxed{p^n(1-p{)}^2}\end{array}$$ $$\mathrm{Pr}\{Y=n\}=\sum _{m=0}^n\mathrm{Pr}\{X_1=m\}\times \mathrm{Pr}\{X_2=n-m\}$$ $$\begin{array}{rl}& =\sum _{m=0}^n{p}^n(1-p{)}^2\\ & =\boxed{(n+1)p^n(1-p{)}^2}\end{array}$$

(問4)

$$\mathrm{Pr}\{Z=n\}=\sum _{x_1+\cdots +x_r=n}\prod _{i=1}^r{Q}_p(x_i)$$ $$=\sum _{x_1+\cdots +x_r=n}{p}^n(1-p{)}^r$$ $$\sum _{x_1+\cdots +x_r=n}1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r-1}\right)$$ $$\mathrm{Pr}\{Z=n\}=\boxed{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r-1}\right)p^n(1-p{)}^r}$$

(問5)

$$\begin{array}{rl}U& =n\\ ⟹n& \ge r\end{array}$$ $$\mathrm{Pr}\{U=n\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right)(0.1{)}^{r-1}(1-0.1{)}^{(n-1)-(r-1)}\times 0.1$$ $$\mathrm{Pr}\{U=n\}=\boxed{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right)0.1^{r}0.9^{n-r}}$$

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作答过程主要涉及概率论中的几何分布与负二项分布。第一问利用无记忆性递推求出从零开始的几何分布的生存函数和概率质量函数。第二问考察首次发生成功所需的试行次数，即平移后的几何分布，通过代入具体的成功与失败概率即可用前一问的函数表示。第三问和第四问通过对独立同分布的几何随机变量求和来推导负二项分布，利用离散卷积求和以及排列组合原理计算将总和分配给多个变量的方案数。第五问则是负二项分布的经典实际应用，计算第r次成功恰好发生在第n次试行的概率，通过前n减1次试行中发生r减1次成功并结合最后一次成功的概率即可顺利得出结果。