0166-2015 东新复 数学 P42

傅里叶与拉普拉斯变换 信号与系统 傅里叶变换 卷积定理

以下の2つの関数を考える．

$$f(t)=\cos ({\omega }_{1}t)+\cos ({\omega }_{2}t)$$ $$g(t)=\{\begin{array}{ll}b,& |t|\le a\\ 0,& |t|>a\end{array}$$

ここで，${\omega }_1,{\omega }_2,a,b$ は正の実数であり ${\omega }_2>{\omega }_1$ とする．フーリエ変換を，

$$\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\text{e}}^{-\text{i}\omega t}\text{d}t$$

と定義する．ここで $\text{i}$ は虚数単位，$e$ は自然対数の底である．
以下，必要があればデルタ関数 $\delta (\omega )$ は下記を満たすとしてよい．

$$\delta (\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{\text{i}\omega t}\text{d}t$$

(問1) $g(t)$ のフーリエ変換 $G(\omega )$ を求めよ．

(問2) 積 $f(t)g(t)$ のフーリエ変換を $G(\omega )$ を用いて表せ．

(問3) 関数 $\alpha (t),\beta (t)$ のフーリエ変換をそれぞれ $A(\omega ),B(\omega )$ とするとき，以下の積分

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\alpha (\tau )\beta (t-\tau )\text{d}\tau$$

のフーリエ変換が，$A(\omega ),B(\omega )$ の積となることを示せ．

(問4) 関数 $h(t)$ を以下のように定義する．

$$h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\text{d}\tau$$

${\omega }_2=2{\omega }_1,h(t)=\cos ({\omega }_{1}t)$ という関係があるとき，これを満たす $a$ の最小値と，そのときの $b$ を，それぞれ ${\omega }_1$ を用いて表せ．

(問5) $c$ を正の実数として，関数 $g(t-c)$ を考える．${\omega }_2=\frac{3}{2}{\omega }_1$ かつ，

$$\begin{array}{rl}h(t-c)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g((t-c)-\tau )\text{d}\tau \\ & =\sin ({\omega }_{2}t)\end{array}$$

という関係があるとき，これを満たす $a$ の最小値と，そのときの $b,c$ を，それぞれ ${\omega }_1$ を用いて表せ．

---

解答：

(問1)

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& ={\int }_{-a}^{a}b{\text{e}}^{-\text{i}\omega t}\text{d}t\\ & ={\left[\frac{b}{-\text{i}\omega }{\text{e}}^{-\text{i}\omega t}\right]}_{-a}^a\\ & =\frac{b}{-\text{i}\omega }({\text{e}}^{-\text{i}\omega a}-{\text{e}}^{\text{i}\omega a})\end{array}$$ $$G(\omega )=\boxed{\frac{2b\sin (a\omega )}{\omega }}$$

(問2)
$f(t)=\frac{1}{2}({\text{e}}^{\text{i}{\omega }_{1}t}+{\text{e}}^{-\text{i}{\omega }_{1}t}+{\text{e}}^{\text{i}{\omega }_{2}t}+{\text{e}}^{-\text{i}{\omega }_{2}t})$ である．
$\mathcal{F}[{\text{e}}^{\text{i}{\omega }_{0}t}g(t)]=G(\omega -{\omega }_0)$ より，

$$\mathcal{F}[f(t)g(t)]=\boxed{\frac{1}{2}\left\{G(\omega -{\omega }_1)+G(\omega +{\omega }_1)+G(\omega -{\omega }_2)+G(\omega +{\omega }_2)\right\}}$$

(問3)
与式のフーリエ変換を定義に従って計算する．

$$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }\alpha (\tau )\beta (t-\tau )\text{d}\tau \right]={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }\alpha (\tau )\beta (t-\tau )\text{d}\tau \right){\text{e}}^{-\text{i}\omega t}\text{d}t$$

積分の順序を交換し，$t^{\prime }=t-\tau$ と置換すると $\text{d}t=\text{d}{t}^{\prime }$ となる．

$$\begin{array}{rl}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\alpha (\tau ){\text{e}}^{-\text{i}\omega \tau }\text{d}\tau {\int }_{-\infty }^{\infty }\beta (t^{\prime }){\text{e}}^{-\text{i}\omega t^{\prime }}\text{d}{t}^{\prime }\\ & =A(\omega )B(\omega )\end{array}$$

(証明終)

(問4)
(問3) より $h(t)$ のフーリエ変換 $H(\omega )$ は $F(\omega )G(\omega )$ である．
$F(\omega )=\pi [\delta (\omega -{\omega }_1)+\delta (\omega +{\omega }_1)+\delta (\omega -{\omega }_2)+\delta (\omega +{\omega }_2)]$ であり，$G(\omega )$ は偶関数であるため，逆変換すると，

$$h(t)=G({\omega }_1)\cos ({\omega }_{1}t)+G({\omega }_2)\cos ({\omega }_{2}t)$$

$h(t)=\cos ({\omega }_{1}t)$ かつ ${\omega }_2=2{\omega }_1$ より，$G({\omega }_1)=1$ かつ $G(2{\omega }_1)=0$．
$G(2{\omega }_1)=\frac{2b\sin (2a{\omega }_1)}{2{\omega }_1}=0⟹\sin (2a{\omega }_1)=0$
これを満たす最小の正の実数 $a$ は $2a{\omega }_1=\pi$ より $a=\frac{\pi }{2{\omega }_1}$．
このとき $G({\omega }_1)=\frac{2b\sin (\pi /2)}{{\omega }_1}=\frac{2b}{{\omega }_1}=1$ より $b=\frac{{\omega }_1}{2}$．

$$\boxed{a=\frac{\pi }{2{\omega }_1},b=\frac{{\omega }_1}{2}}$$

(問5)
$h(t-c)=G({\omega }_1)\cos ({\omega }_1(t-c))+G({\omega }_2)\cos ({\omega }_2(t-c))$ である．
これが $\sin ({\omega }_{2}t)$ に等しいので，$G({\omega }_1)=0$ かつ $G({\omega }_2)\cos ({\omega }_2(t-c))=\sin ({\omega }_{2}t)$．
加法定理より $G({\omega }_2)(\cos ({\omega }_{2}t)\cos ({\omega }_{2}c)+\sin ({\omega }_{2}t)\sin ({\omega }_{2}c))=\sin ({\omega }_{2}t)$ となるため，
$G({\omega }_2)\cos ({\omega }_{2}c)=0$ かつ $G({\omega }_2)\sin ({\omega }_{2}c)=1$．
$G({\omega }_1)=\frac{2b\sin (a{\omega }_1)}{{\omega }_1}=0⟹\sin (a{\omega }_1)=0$ より最小の正の実数 $a$ は $a=\frac{\pi }{{\omega }_1}$．
このとき ${\omega }_2=\frac{3}{2}{\omega }_1$ より，$G({\omega }_2)=\frac{2b\sin (\frac{3\pi }{2})}{\frac{3}{2}{\omega }_1}=-\frac{4b}{3{\omega }_1}$．
$-\frac{4b}{3{\omega }_1}\cos ({\omega }_{2}c)=0$ かつ $-\frac{4b}{3{\omega }_1}\sin ({\omega }_{2}c)=1$ を満たす必要がある．
$b>0$ より $\sin ({\omega }_{2}c)<0$ となり，$\cos ({\omega }_{2}c)=0$ を満たす最小の正の角は ${\omega }_{2}c=\frac{3\pi }{2}$．
$\frac{3}{2}{\omega }_{1}c=\frac{3\pi }{2}$ より $c=\frac{\pi }{{\omega }_1}$．
このとき $\sin (\frac{3\pi }{2})=-1$ より $-\frac{4b}{3{\omega }_1}(-1)=1⟹b=\frac{3{\omega }_1}{4}$．

$$\boxed{a=\frac{\pi }{{\omega }_1},b=\frac{3{\omega }_1}{4},c=\frac{\pi }{{\omega }_1}}$$

---

这道题目考察了傅里叶变换的几个核心性质以及理想滤波器的概念。首先第一问和第二问要求推导矩形窗函数的频谱及其与余弦信号相乘后的频移现象。第三问则是经典的卷积定理证明，表明时域的卷积等效于频域的乘积。第四和第五问是前面性质的综合应用，物理意义是让输入信号通过一个矩形冲激响应的滤波器。通过在频域分析可以发现，输出信号的成分由各个余弦分量频率处滤波器的增益决定。为了滤除高频分量保留低频分量，或者滤除低频保留高频并改变相位，需要令矩形窗在特定频率处的频谱幅度恰好为零或者某个特定值，由此可以建立方程组解出时间宽度参数a、幅度参数b以及时延参数c。