0165-2015 东新复 数学 P41

线性代数 空间解析几何 矩阵变换

3次元空間中の点 $(x,y,z)$ と $(u,v,w)$ の間には，以下の関係がある．

$$\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a& -b& c\\ a& 0& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)(1)$$

ただし $a,b,c$ を正の実数とし，$d$ を実数とする．また，点 $(x,y,z)$ の集合 $X$ は，点 $\text{P}$ を中心とする半径 $1$ の球面をなすものとし，$X$ に対応する点 $(u,v,w)$ の集合を $U$ とする．このとき，以下の問に答えよ．

(問1) 任意の点 $(u,v,w)$ について，式 $(1)$ を満たす $(x,y,z)$ が存在するために，$a,b,c,d$ が満たすべき必要十分条件を求めよ．

(問2) $\text{P}$ を $(0,0,0)$ とする．$U$ が半径 $2$ の球面となるために，$a,b,c,d$ が満たすべき必要十分条件を求めよ．

(問3) $\text{P}$ を $(\sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{6})$ とする．$(0,0,0),(1,1,1)$ および $(1,-1,0)$ を含む平面を $\text{S}$ とし，$a,b,c,d$ が (問2) の条件を満たすとき，$U$ と $\text{S}$ との距離を求めよ．

(問4) $(a,b,c,d)=(1,1,1,-1)$ とする．式 $(1)$ の $3\times 3$ 行列を $A$ とするとき $A^{\text{T}}A$ の固有値を全て求めよ．ただし $A^{\text{T}}$ は $A$ の転置行列とする．

(問5) $(a,b,c,d)$ が (問4) の値のとき，$U$ に含まれる $2$ 点間の距離の最大値を求めよ．

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解答：

(問1)
係数行列を $A$ とおく．任意の $(u,v,w{)}^{\text{T}}$ に対して $(x,y,z{)}^{\text{T}}$ が存在するための条件は，$A$ が正則であることである．

$$\begin{array}{rl}\det A& =a(-bd)-b(ad-ac)+c(0-(-ab))\\ & =2ab(c-d)\end{array}$$

$a,b,c>0$ より $2ab\ne 0$ であるため，$\det A\ne 0$ となる条件は，

$$\boxed{c\ne d}$$

(問2)
$X$ は $\Vert \mathbf{x}\Vert =1$ を満たす．$U$ が半径 $2$ の球面となる条件は，任意の $\mathbf{x}$ に対して $\Vert A\mathbf{x}{\Vert }^2=4\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2$ が成り立つこと，すなわち $A^{\text{T}}A=4I$ である．

$$\begin{array}{rl}{A}^{\text{T}}A& =\left(\begin{array}{ccccccc}a& a& ab& -b& 0c& c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccccc}a& b& ca& -b& ca& 0& d\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccccccc}3a^2& 0& a(2c+d)0& 2b^2& 0a(2c+d)& 0& 2c^2+d^2\end{array}\right)\end{array}$$

これが $4I$ に等しいため，各成分を比較して，

$$3a^2=42b^2=4a(2c+d)=02c^2+d^2=4$$

$a,b,c>0$ であるから，

$$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}b=\sqrt{2}$$

$a(2c+d)=0$ より $d=-2c$．これを $2c^2+d^2=4$ に代入し，

$$\begin{array}{rl}2c^2+4c^2& =6c^2=4\\ ⟹c& =\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}d& =-2\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\\ & =-\frac{2\sqrt{6}}{3}\end{array}$$

以上より，

$$\boxed{a=\frac{2\sqrt{3}}{3},b=\sqrt{2},c=\frac{\sqrt{6}}{3},d=-\frac{2\sqrt{6}}{3}}$$

(問3)
平面 $\text{S}$ の法線ベクトル $\mathbf{n}$ は $(1,1,1{)}^{\text{T}}$ と $(1,-1,0{)}^{\text{T}}$ の外積より，

$$\begin{array}{rl}\mathbf{n}& =\left(\begin{array}{c}111\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1-10\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}11-2\end{array}\right)\end{array}$$

よって $\text{S}$ の方程式は $x+y-2z=0$．
$U$ の中心 $P^{\prime }$ は $A\text{P}$ であるから，

$$\begin{array}{rl}{P}^{\prime }& =\left(\begin{array}{ccccccc}\frac{2\sqrt{3}}{3}& \sqrt{2}& \frac{\sqrt{6}}{3}\frac{2\sqrt{3}}{3}& -\sqrt{2}& \frac{\sqrt{6}}{3}\frac{2\sqrt{3}}{3}& 0& -\frac{2\sqrt{6}}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{6}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}2+2+22-2+22+0-4\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}62-2\end{array}\right)\end{array}$$

$P^{\prime }$ と平面 $\text{S}$ との距離 $D$ は，

$$\begin{array}{rl}D& =\frac{|6\cdot 1+2\cdot 1-2\cdot (-2)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =\frac{12}{\sqrt{6}}\\ & =2\sqrt{6}\end{array}$$

$U$ は半径 $2$ の球面であるから，$U$ と $\text{S}$ の最短距離は，

$$\boxed{2\sqrt{6}-2}$$

(問4)
$(a,b,c,d)=(1,1,1,-1)$ を代入すると，

$$A^{\text{T}}A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$$

固有方程式 $\det (A^{\text{T}}A-\lambda I)=0$ を解く．

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccccccc}3-\lambda & 0& 10& 2-\lambda & 01& 0& 3-\lambda \end{array}\right|& =(2-\lambda )\{(3-\lambda {)}^2-1\}\\ & =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}(2-\lambda )({\lambda }^2-6\lambda +8)& =(2-\lambda )(\lambda -2)(\lambda -4)\\ & =0\end{array}$$

よって，固有値は

$$\boxed{2,4}$$

(問5)
$U$ に含まれる2点間の距離の最大値は，元の球面 $X$ に含まれる2点間のベクトルを $\Delta \mathbf{x}$ としたときの $\Vert A\Delta \mathbf{x}\Vert$ の最大値である．
$X$ は半径 $1$ であるから，$\Vert \Delta \mathbf{x}\Vert \le 2$．
レイリー商の性質より，

$$\begin{array}{rl}\Vert A\Delta \mathbf{x}{\Vert }^2& =\Delta {\mathbf{x}}^{\text{T}}{A}^{\text{T}}A\Delta \mathbf{x}\\ & \le {\lambda }_{\max }\Vert \Delta \mathbf{x}{\Vert }^2\end{array}$$

ここで ${\lambda }_{\max }=4$ であるから，

$$\begin{array}{rl}\Vert A\Delta \mathbf{x}{\Vert }^2& \le 4\cdot 2^2\\ & =16\end{array}$$

したがって，距離の最大値は

$$\boxed{4}$$

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作答过程涉及了线性代数与空间解析几何的综合运用。第一问通过分析矩阵方程有解的条件，即由空间点满射推导出变换矩阵的行列式不为零，从而求得参数所需满足的约束。第二问考查了矩阵变换下的保距与放缩性质，要使半径为1的球经过线性变换后变为半径为2的球，对应的矩阵乘其转置必定是单位阵的4倍，利用这个矩阵恒等式对应位置元素相等即可解出各参数的值。第三问是几何中点到平面距离公式的常规应用，先用向量叉乘求出由三点确定的平面方程，再计算变换后的球心坐标，两者利用距离公式得出球心到平面的距离后减去球的半径即为最终结果。第四问是标准的求实对称矩阵特征值的计算。第五问巧妙利用了矩阵二次型的性质（瑞利商），将求椭球面上两点间距离的最大值问题，转化为利用矩阵最大特征值对原向量长度进行放缩的最值问题，由于原球面上两点距离最大即为直径，直接代入即可求得答案。