0164-2015 东新复 数学 P40

微分积分 高等数学 微积分 反常积分

自然数 $n$ と正の実数 $a$ を用いて

$$I_n(a)={\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-a{x}^2}dx$$

と定義する．ここで $e$ は自然対数の底である．このとき，以下の問に答えよ．

(問1) $I_1(a)={\int }_0^{\infty }x{e}^{-a{x}^2}dx$ を求めよ．

(問2) $I_0(a{)}^2={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi }{4a}$ であることを示せ．

(問3) 次の積分を求めよ．(問2) の関係を用いてもよい．

(1) ${\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx$
(2) ${\int }_0^{\infty }\sqrt{x}{e}^{-x}dx$
(3) ${\int }_0^1{\left({\log }_e\frac{1}{x}\right)}^{1/2}dx$
(4) ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-4x^2+3x}dx$

(問4) $n\ge 2$ に対して，$I_n(1)={\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x^2}dx=\frac{n-1}{2}{\int }_0^{\infty }{x}^{n-2}{e}^{-x^2}dx$ であることを示せ．

(問5) $I_{2n+1}(1)={\int }_0^{\infty }{x}^{2n+1}{e}^{-x^2}dx$ を求めよ．(問4) の関係を用いてもよい．

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解答：

(問1) $t=a{x}^2$ と置換する．$dt=2axdx$ より，

$$\begin{array}{rl}{I}_1(a)& ={\int }_0^{\infty }x{e}^{-a{x}^2}dx\\ & ={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2a}{e}^{-t}dt\\ & ={\left[-\frac{1}{2a}{e}^{-t}\right]}_0^{\infty }\\ & =\boxed{\frac{1}{2a}}\end{array}$$

(問2) 極座標変換 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を用いる．積分領域は $r\ge 0,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ であり，ヤコビアンは $r$ となる．

$$\begin{array}{rl}{I}_0(a{)}^2& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-a{r}^2}rdr\\ & =\frac{\pi }{2}{\left[-\frac{1}{2a}{e}^{-a{r}^2}\right]}_0^{\infty }\\ & =\frac{\pi }{4a}\end{array}$$

(証明終)

ここから $I_0(a)=\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{a}}$ を得る．

(問3)
(1) 部分積分法を用いる．

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx& ={\left[x\left(-\frac{1}{2a}{e}^{-a{x}^2}\right)\right]}_0^{\infty }+\frac{1}{2a}{\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx\\ & =0+\frac{1}{2a}{I}_0(a)\\ & =\boxed{\frac{\sqrt{\pi }}{4a\sqrt{a}}}\end{array}$$

(2) $x=t^2$ と置換し $dx=2tdt$ とする．(1)の結果で $a=1$ とすると，

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }\sqrt{x}{e}^{-x}dx& ={\int }_0^{\infty }t{e}^{-t^2}2tdt\\ & =2{\int }_0^{\infty }{t}^2{e}^{-t^2}dt\\ & =2\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{4}\\ & =\boxed{\frac{\sqrt{\pi }}{2}}\end{array}$$

(3) $y=-{\log }_{e}x$ と置換すると $x=e^{-y},dx=-e^{-y}dy$ となり，積分区間は $\infty$ から $0$ になる．

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\left({\log }_e\frac{1}{x}\right)}^{1/2}dx& ={\int }_{\infty }^0{y}^{1/2}(-e^{-y})dy\\ & ={\int }_0^{\infty }\sqrt{y}{e}^{-y}dy\\ & =\boxed{\frac{\sqrt{\pi }}{2}}\end{array}$$

(4) 指数部分の平方完成を行う．

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-4x^2+3x}dx& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-4(x-\frac{3}{8}{)}^2+\frac{9}{16}}dx\\ & =e^{\frac{9}{16}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-4(x-\frac{3}{8}{)}^2}dx\end{array}$$

$t=x-\frac{3}{8}$ と置換し，被積分関数の偶関数性を利用する．

$$\begin{array}{rl}{e}^{\frac{9}{16}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-4t^2}dt& =2e^{\frac{9}{16}}{\int }_0^{\infty }{e}^{-4t^2}dt\\ & =2e^{\frac{9}{16}}{I}_0(4)\\ & =2e^{\frac{9}{16}}\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{4}}\\ & =\boxed{\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{\frac{9}{16}}}\end{array}$$

(問4) 部分積分法を用いる．

$$\begin{array}{rl}{I}_n(1)& ={\int }_0^{\infty }{x}^{n-1}\cdot x{e}^{-x^2}dx\\ & ={\left[x^{n-1}\left(-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}\right)\right]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }(n-1)x^{n-2}\left(\frac{1}{2}{e}^{-x^2}\right)dx\end{array}$$

$n\ge 2$ のとき $x\to \infty$ および $x=0$ で第一項は $0$ となるため，

$$I_n(1)=\frac{n-1}{2}{\int }_0^{\infty }{x}^{n-2}{e}^{-x^2}dx$$

(証明終)

(問5) (問4)の漸化式を繰り返し用いる．

$$\begin{array}{rl}{I}_{2n+1}(1)& =\frac{2n}{2}{I}_{2n-1}(1)\\ & =n{I}_{2n-1}(1)\\ & =n(n-1)I_{2n-3}(1)\\ & =\dots \\ & =n!I_1(1)\end{array}$$

(問1)より $I_1(1)=\frac{1}{2}$ であるから，

$$I_{2n+1}(1)=\boxed{\frac{n!}{2}}$$

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作答过程主要涉及微积分中的高斯积分和反常积分的计算技巧。在处理这类含有指数衰减项的无限区间积分时，最核心的思想是利用极坐标变换求解平方项的积分，即经典的泊松积分方法，通过将单重积分转化为双重积分从而计算出基本形式。对于含多项式乘积的积分形式，部分积分法是降低多项式次数并构建递推关系的关键步骤，利用极限过程可以消去边界项。在某些小题中，适当的变量代换比如平方根代换或对数代换能够将复杂形式转化为已知的积分结构从而直接利用前面的结论。配方法则常用于处理指数上含有一阶项的高斯型积分，将其平移为标准形式后利用对称性和已知结论进行求解。最后通过构建和展开递推公式，结合连续乘积与阶乘的概念，可以顺利推导出一般奇数次幂积分的通项表达式。