0163-2012 东新复 机械 P28

力学 热力学 布雷顿循环 工程热力学

気体が理想気体の状態方程式に従って状態変化し，気体の物性値は状態によらず一定であるとして，以下の問に答えよ．ただし，$\gamma$：比熱比，$P$：圧力，$V$：体積，$T$：温度，$S$：エントロピー，とする．

(問1) 以下に示すマクスウェルの関係式を用いて，気体が等エントロピー変化する際に，$P\cdot V^{\gamma }$が一定に保たれることを示せ．

$${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$$

次に，下図のような周囲大気に対して吸排気するガスタービン（ブレイトンサイクル）を考える．すなわち理想的な場合には，状態①から②は等エントロピー圧縮，状態②から③は等圧加熱，状態③から④は等エントロピー膨張とする．ここで，
圧力比：$\pi (=P_2/P_1)$
温度比：$\tau (=T_3/T_1)$
圧縮機断熱効率：${\eta }_c=\frac{\text{等エントロピー圧縮に要する仕事}}{\text{圧縮機が実際に要する仕事}}$
タービン断熱効率：${\eta }_T=\frac{\text{タービンから実際に得られる仕事}}{\text{等エントロピー膨張で得られる仕事}}$
とする．なお，添字$1,2,3,\cdots$は，状態①，②，③，$\cdots$での値とする．また，圧縮及び膨張の過程においては，直接外部との熱のやり取りは無いものとする．

(問2) 理想的なサイクル (${\eta }_c={\eta }_T=1$) の$T$(温度)−$S$(エントロピー)線図を描き，①～④に対応する点を示せ．また，この理想サイクルの熱効率を，$\pi$と$\gamma$を用いて，導出の過程も含めて示せ．

(問3) 損失のある実際のサイクル (${\eta }_c<1,{\eta }_T<1$) が，理想サイクルに比べてどのようになるかを$T-S$線図を用いて説明し，サイクルの熱効率を$\gamma ,\tau ,\pi ,{\eta }_c,{\eta }_T$を用いて求めよ．ただし，実際のサイクルにおいても$\pi ,\tau$は理想サイクルの値が保たれるものとし，加熱器内の圧力損失は無視できるものとする．

(問4) (問3)で想定した損失のある圧縮及び膨張過程は，ポリトロープ変化($P\cdot V^n=\text{一定}$, $n$：ポリトロープ指数)と考えることができる．①→②の圧縮過程について，エントロピー増分を定積比熱$C_v$, $n$, $\gamma$, $\pi$を用いて求めよ．

(問5) 下図のように，タービン排熱を回収する熱再生サイクルによって得られる効果を，$T-S$線図を用いて説明せよ．なお，熱交換器内部の圧力損失は無視できるものとしてよい．また，理想サイクル(${\eta }_c={\eta }_T=1$)の場合の熱効率を，$\gamma ,\pi ,\tau ,{\eta }_R$を用いて求めよ．ただし，${\eta }_R$は熱交換器の温度効率とし，以下のように定義されるとする．

$${\eta }_R=\frac{T_5-T_2}{T_4-T_2}$$

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解答：

(問1)
熱力学の第一法則より、$S(T,V)$の全微分は以下のように表される。

$$dS={\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{V}dT+{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T}dV$$

理想気体の状態方程式 $PV=RT$ より、${\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V=\frac{R}{V}$ となる。また、${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V=\frac{C_v}{T}$ であり、与えられたマクスウェルの関係式を用いると、

$$dS=\frac{C_v}{T}dT+\frac{R}{V}dV$$

等エントロピー変化では $dS=0$ である。マイヤーの関係式 $R=C_p-C_v$ および比熱比 $\gamma =\frac{C_p}{C_v}$ より $\frac{R}{C_v}=\gamma -1$ となるため、式を $C_v$ で割り整理すると、

$$\frac{dT}{T}+(\gamma -1)\frac{dV}{V}=0$$

これを積分すると $T{V}^{\gamma -1}=\text{一定}$ を得る。さらに $T=\frac{PV}{R}$ を代入すると、

$$P{V}^{\gamma }=\text{一定}\text{(証明終)}$$

(問2)
T-S線図上の各過程は以下の通りである。
①$\to$②: 等エントロピー圧縮 (垂直上向きの直線)
②$\to$③: 等圧加熱 (右上がりの曲線)
③$\to$④: 等エントロピー膨張 (垂直下向きの直線)
④$\to$①: 等圧放熱 (左下がりの曲線)
理想サイクルの熱効率 ${\eta }_{th}$ は、吸熱量 $Q_{in}=C_p(T_3-T_2)$ と放熱量 $Q_{out}=C_p(T_4-T_1)$ を用いて、

$$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =1-\frac{Q_{out}}{Q_{in}}\\ & =1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}\\ & =1-\frac{T_1(T_4/T_1-1)}{T_2(T_3/T_2-1)}\end{array}$$

等エントロピー過程より $\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}={\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$、$\frac{T_3}{T_4}={\left(\frac{P_3}{P_4}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}={\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$ である。
ゆえに $\frac{T_4}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}$ となり、括弧内が相殺される。

$$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =1-\frac{T_1}{T_2}\\ & =\boxed{1-{\pi }^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}}\end{array}$$

(問3)
T-S線図の差異：圧縮機とタービンにおける不可逆性によるエントロピー増大のため、実際の状態②と④は理想サイクルの対応する点よりも右側（高エントロピー側）にずれる。
圧縮機仕事、タービン仕事、加熱量を $T_1$ で表す。
圧縮機：$W_C=\frac{C_p{T}_1}{{\eta }_c}({\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)$ より $T_2=T_1\left[1+\frac{1}{{\eta }_c}({\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)\right]$
タービン：$W_T={\eta }_T{C}_p{T}_3(1-{\pi }^{\frac{1-\gamma }{\gamma }})$
吸熱量：$Q_{in}=C_p(T_3-T_2)=C_p{T}_1\left[\tau -1-\frac{1}{{\eta }_c}({\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)\right]$
熱効率は $\eta =\frac{W_T-W_C}{Q_{in}}$ であるから、

$$\eta =\boxed{\frac{{\eta }_T\tau (1-{\pi }^{\frac{1-\gamma }{\gamma }})-\frac{1}{{\eta }_c}({\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)}{\tau -1-\frac{1}{{\eta }_c}({\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)}}$$

(問4)
ポリトロープ変化 $P{V}^n=\text{一定}$ と状態方程式より、温度比は $\frac{T_2}{T_1}={\pi }^{\frac{n-1}{n}}$ となる。理想気体のエントロピー変化の式より、

$$\begin{array}{rl}\Delta S& =C_p\ln \frac{T_2}{T_1}-R\ln \frac{P_2}{P_1}\\ & =\gamma C_v\ln \left({\pi }^{\frac{n-1}{n}}\right)-(\gamma -1)C_v\ln \pi \end{array}$$

これを整理すると、

$$\begin{array}{rl}\Delta S& =C_v\left(\gamma \frac{n-1}{n}-(\gamma -1)\right)\ln \pi \\ & =\boxed{C_v\frac{n-\gamma }{n}\ln \pi }\end{array}$$

(問5)
効果の説明：タービン出口の高温排気(④)の熱を利用し、圧縮機出口の空気(②)を予熱して状態⑤にする。これにより外部からの必要な加熱量が減少し、系外への排熱も減少するため、系全体での熱効率が向上する。
定義より $T_5=T_2+{\eta }_R(T_4-T_2)$。
理想サイクルにおける各温度は $T_2=T_1{\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$、$T_4=\tau T_1{\pi }^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}$ である。
純仕事は問2と変わらず、吸熱量が $Q_{in}^{\prime }=C_p(T_3-T_5)$ となる。熱効率 $\eta =\frac{(T_3-T_4)-(T_2-T_1)}{T_3-T_5}$ に対して分母分子を $T_1$ で除して整理すると、

$$\eta =\boxed{\frac{\tau (1-{\pi }^{\frac{1-\gamma }{\gamma }})-({\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)}{\tau -{\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-{\eta }_R(\tau {\pi }^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}-{\pi }^{\frac{\gamma -1}{\gamma }})}}$$

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这道题目主要考察了工程热力学中燃气轮机理想布雷顿循环及其改进方式的分析计算。第一问要求利用麦克斯韦关系式从基本热力学公式推导出等熵过程方程式，展现了状态参数间的严密推导逻辑。第二问和第三问涉及了循环的热力学温熵图绘制及效率计算，并且引入了压气机和透平的等熵效率来修正不可逆损失。第四问拓展了多变过程的熵变计算，通过多变指数将实际压缩过程的路径参数化。最后一问引入了回热循环，利用透平排气的余热预热压气机出口空气，这是燃气轮机提高热效率的常用手段，推导时需要严格按照温度效率的定义写出实际吸热量的表达式进而求得最终效率。