0161-2012 东新复 数学 P25

概率统计 概率论 随机游走 组合数学

ある粒子が，時刻 $t=0$ のとき $x=0$ にあるものとする．そして，時刻 $t$ が $1$ 進むごとに $x$ 軸上を確率 $p$ で $+1$，確率 $(1-p)$ で $-1$ 移動することとする．ただし，$0<p<1$ である．以下の問に答えよ．

(問 1) この粒子が，時刻 $t=2$ のときに $x=0$ にある確率を求めよ．

(問 2) この粒子が，時刻 $t=2m$ のときに $x=0$ にある確率 $\alpha (m)$ を考える．ただし $m$ を非負整数とする．
(a) この粒子の動きを，図1のように $(t,x)$ 平面に経路として描くことにする．このとき，$(t,x)$ 平面における座標 $(0,0)$ から $(2m,0)$ への経路の個数を求めよ．
(b) $\alpha (m)$ を求めよ．

(問 3) 再度この粒子の動きを $(t,x)$ 平面に経路として描くことにする．
(a) $(t,x)$ 平面における座標 $(1,1)$ から $(2m-1,1)$ への経路の個数を求めよ．
(b) $(t,x)$ 平面における座標 $(1,-1)$ から $(2m-1,1)$ への経路の個数を求めよ．
(c) $(t,x)$ 平面における座標 $(1,1)$ から $(2m-1,1)$ への経路のうち，$x=0$ を経由する経路の個数は，(問3)(b)で求めた $(1,-1)$ から $(2m-1,1)$ への経路の個数と等しくなることを説明せよ．
(d) $(t,x)$ 平面における座標 $(0,0)$ から $(2m,0)$ への経路のうち，途中で $x=0$ を経由しない経路の個数を求めよ．

(問 4) この粒子が，時刻 $t=2m$ のときにはじめて $x=0$ に戻ってくる確率を $\beta (m)$ とする．ただし，$m$ を正の整数とする．
(a) $\beta (m)$ を求めよ．
(b) $\beta (m)=4p(1-p)\alpha (m-1)-\alpha (m)$ が成り立つことを証明せよ．

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解答：

(問 1)
$t=2$ で $x=0$ となる条件は，$+1$ の移動と $-1$ の移動がそれぞれ $1$ 回ずつ生じることである．

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)p^1(1-p{)}^1=2p(1-p)$$ $$\boxed{2p(1-p)}$$

(問 2)
(a) $2m$ 回の移動のうち，$+1$ が $m$ 回，$-1$ が $m$ 回生じる順列の数である．

$$\boxed{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)}$$

(b) (a)で求めた各経路が生じる確率は等しく $p^m(1-p{)}^m$ である．

$$\boxed{\alpha (m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)p^m(1-p{)}^m}$$

(問 3)
(a) 移動回数は $(2m-1)-1=2m-2$ 回，変位は $1-1=0$ であるため，$+1$ が $m-1$ 回，$-1$ が $m-1$ 回生じる．

$$\boxed{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)}$$

(b) 移動回数は $2m-2$ 回，変位は $1-(-1)=2$ であるため，$+1$ が $m$ 回，$-1$ が $m-2$ 回生じる．

$$\boxed{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m}\right)}$$

(c)
$(1,1)$ から $(2m-1,1)$ への経路が初めて $x=0$ 上の点 $(t_0,0)$ を経由するとする．
経路の $(1,1)$ から $(t_0,0)$ までの部分を $x=0$ に関して対称に折り返すと，$(1,-1)$ から $(t_0,0)$ を経由して $(2m-1,1)$ に至る経路と一対一に対応する．
始点 $(1,-1)$ と終点 $(2m-1,1)$ は直線 $x=0$ の両側にあるため，$(1,-1)$ から $(2m-1,1)$ への任意の経路は必ず $x=0$ を経由する．
したがって，求める経路の個数は $(1,-1)$ から $(2m-1,1)$ への全経路数と等しくなる．(証明終)

(d)
途中で $x=0$ を経由せず $x>0$ の領域を維持する経路は，$t=1$ で $(1,1)$ を，$t=2m-1$ で $(2m-1,1)$ を通る．
その経路数は，(a)の全経路数から(c)の $x=0$ を経由する経路数を引いたものである．

$$N_{+}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m}\right)$$

対称性により，$x<0$ を維持する経路数 $N_{-}$ もこれに等しい．全経路数は $N_{+}+N_{-}$ となる．

$$\begin{array}{rl}{N}_{+}+N_{-}& =2\left\{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m}\right)\right\}\\ & =2\left\{\frac{(2m-2)!}{(m-1)!(m-1)!}-\frac{(2m-2)!}{m!(m-2)!}\right\}\\ & =\frac{2(2m-2)!}{(m-1)!(m-2)!}\left(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}\right)\\ & =\frac{2(2m-2)!}{(m-1)!m!}\end{array}$$ $$\boxed{\frac{2}{m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)}$$

(問 4)
(a)
(問 3)(d)で求めた経路はそれぞれ $+1$ が $m$ 回，$-1$ が $m$ 回生じるため，各経路の確率は $p^m(1-p{)}^m$ である．

$$\boxed{\beta (m)=\frac{2}{m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)p^m(1-p{)}^m}$$

(b)
右辺の階乗を展開して整理する．

$$\begin{array}{rl}4p(1-p)\alpha (m-1)-\alpha (m)& =4p(1-p)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)p^{m-1}(1-p{)}^{m-1}-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})p^m(1-p{)}^m\\ & =\left\{4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)-\frac{2m(2m-1)}{m^2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)\right\}{p}^m(1-p{)}^m\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)\left(4-\frac{4m-2}{m}\right)p^m(1-p{)}^m\\ & =\frac{2}{m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m-2}{m-1}\right)p^m(1-p{)}^m\\ & =\beta (m)\end{array}$$

(証明終)

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关于一维简单随机游走问题，这道题通过计算路径数来求解特定状态的概率。证明第三问时使用的反射原理是处理不越过或触碰特定边界的随机游走路径问题的经典方法，通过对称变换建立路径的一一映射。对于第四问首次返回原点的概率，其对应的路径总数实际上就是卡特兰数的相关形式。在最后的证明中，通过将组合数展开并提取公因式，可以直接推导出首次返回概率与普通返回概率之间的递推代数关系，这是分析马尔可夫链常返性等深层性质的基础。