0160-2012 东新复 数学 P24

傅里叶与拉普拉斯变换 傅里叶变换 数学物理方法 量子力学

関数 $f(x)$ とそのフーリエ変換 $F(k)$ は以下の式で定義される関係にある．

$$F(k)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ikx}\mathrm{d}x$$ $$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(k)e^{2\pi ikx}\mathrm{d}k$$

ここで $i$ は虚数単位であり，$e$ は自然対数の底である．以下の問に答えよ．

(問1) $f(x)=e^{-a{x}^2}$ とし，$a>0$ とする．
(a) ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm{d}x$ を求めよ．ここで ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }$ の関係を用いてよい．
(b) $f(x)$ のフーリエ変換 $F(k)$ を求めよ．
(c) ${\int }_{-\infty }^{\infty }(f(x){)}^2\mathrm{d}x$ と ${\int }_{-\infty }^{\infty }(F(k){)}^2\mathrm{d}k$ を求め，これら二つの定積分の関係を述べよ．

(問2) これ以降 $f(x)$ を微分可能な任意の関数で，式(1)のように規格化されているものとする．

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(x){|}^2\mathrm{d}x=1(1)$$

ここで複素数 $z$ に対して，$\overline{z}$ は複素共役を表し，$|z|=\sqrt{z\overline{z}}$ は $z$ の絶対値を表す．
(a) ${\int }_{-\infty }^{\infty }|F(k){|}^2\mathrm{d}k$ を求めよ．ここでデルタ関数 $\delta (x)$ は式(2)で与えられる事を用いても良い．

$$\delta (x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi ikx}\mathrm{d}k(2)$$

(b) 式(3)を証明せよ．ここで式(2)を用いても良い．ただし $f^{\prime }(x)$ は $f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$ で定義される．

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x=4{\pi }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{k}^2|F(k){|}^2\mathrm{d}k(3)$$

(c) $f(x)$ が

$${\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x){|}^2\mathrm{d}x=-1(4)$$

を満たすとき，式(5)を証明せよ．

$$\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2|f(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{k}^2|F(k){|}^2\mathrm{d}k\right)\ge \frac{1}{16{\pi }^2}(5)$$

【注意】必要であれば式(6)の不等式を用いて良い．ここで $g(x)$ と $h(x)$ は2乗可積分関数である．

$$\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|g(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|h(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\ge {\left|{\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\overline{h(x)}\mathrm{d}x\right|}^2(6)$$

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解答

(問1)
(a) $t=\sqrt{a}x$ とおくと、$\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{d}t$。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x& =\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\\ & =\boxed{\sqrt{\frac{\pi }{a}}}\end{array}$$

(b) 平方完成を用いる。

$$\begin{array}{rl}F(k)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2-2\pi ikx}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{\left(x+\frac{\pi ik}{a}\right)}^2-\frac{{\pi }^2{k}^2}{a}}\mathrm{d}x\\ & =e^{-\frac{{\pi }^2{k}^2}{a}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{\left(x+\frac{\pi ik}{a}\right)}^2}\mathrm{d}x\end{array}$$

積分経路の推移によりガウス積分は不変であるため、

$$F(k)=\boxed{\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-\frac{{\pi }^2{k}^2}{a}}}$$

(c) (a)と同様の計算により、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }(f(x){)}^2\mathrm{d}x& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2a{x}^2}\mathrm{d}x\\ & =\boxed{\sqrt{\frac{\pi }{2a}}}\end{array}$$

(b)の結果より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }(F(k){)}^2\mathrm{d}k& =\frac{\pi }{a}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{2{\pi }^2{k}^2}{a}}\mathrm{d}k\\ & =\frac{\pi }{a}\sqrt{\frac{\pi }{2{\pi }^2/a}}\\ & =\boxed{\sqrt{\frac{\pi }{2a}}}\end{array}$$

関係：

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }(f(x){)}^2\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }(F(k){)}^2\mathrm{d}k(\text{二つの定積分は等しい})}$$

(問2)
(a)

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(k){|}^2\mathrm{d}k& ={\int }_{-\infty }^{\infty }F(k)\overline{F(k)}\mathrm{d}k\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ikx}\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{f(y)}{e}^{2\pi iky}\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}k\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{f(y)}\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi ik(y-x)}\mathrm{d}k\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{f(y)}\delta (y-x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{f(x)}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }|f(x){|}^2\mathrm{d}x\\ & =\boxed{1}\end{array}$$

(b) $f^{\prime }(x)$ のフーリエ変換を部分積分により求める。（$x\to \pm \infty$ で $f(x)\to 0$）

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\prime }(x)e^{-2\pi ikx}\mathrm{d}x& ={\left[f(x)e^{-2\pi ikx}\right]}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)(-2\pi ik)e^{-2\pi ikx}\mathrm{d}x\\ & =2\pi ikF(k)\end{array}$$

(a)で示されたプランシュレルの定理（$\int |g(x){|}^2\mathrm{d}x=\int |G(k){|}^2\mathrm{d}k$）を $f^{\prime }(x)$ と $2\pi ikF(k)$ に適用する。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x& ={\int }_{-\infty }^{\infty }|2\pi ikF(k){|}^2\mathrm{d}k\\ & =4{\pi }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{k}^2|F(k){|}^2\mathrm{d}k\boxed{\text{(証明終)}}\end{array}$$

(c) 式(6)において $g(x)=xf(x),h(x)=f^{\prime }(x)$ とおくと、

$$\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2|f(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\ge {\left|{\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\overline{f^{\prime }(x)}\mathrm{d}x\right|}^2$$

ここで複素数 $z$ に対し $|z{|}^2\ge (\mathrm{Re}z{)}^2$ であり、式(4)より

$$\begin{array}{rl}-1& ={\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)\overline{f(x)})\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(f^{\prime }(x)\overline{f(x)}+f(x)\overline{f^{\prime }(x)})\mathrm{d}x\\ & =2\mathrm{Re}\left({\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\overline{f^{\prime }(x)}\mathrm{d}x\right)\end{array}$$

よって $\mathrm{Re}\left({\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\overline{f^{\prime }(x)}\mathrm{d}x\right)=-\frac{1}{2}$ となり、

$$\begin{array}{rl}{\left|{\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\overline{f^{\prime }(x)}\mathrm{d}x\right|}^2& \ge {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$

したがって、

$$\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2|f(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\ge \frac{1}{4}$$

式(3)より ${\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x=4{\pi }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{k}^2|F(k){|}^2\mathrm{d}k$ を代入して整理すると、

$$\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2|f(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\left(4{\pi }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{k}^2|F(k){|}^2\mathrm{d}k\right)\ge \frac{1}{4}$$ $$\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2|f(x){|}^2\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{k}^2|F(k){|}^2\mathrm{d}k\right)\ge \frac{1}{16{\pi }^2}\boxed{\text{(証明終)}}$$

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补充解析

本题整体是对傅里叶变换的性质及其在量子力学中物理意义（海森堡不确定性原理）的数学推导。

问1以高斯函数为载体，要求计算其积分及傅里叶变换。高斯函数的傅里叶变换依然是高斯函数，这一过程的核心技巧是通过配方法将指数上的复数项合并为一个完全平方，并利用柯西积分定理（或积分路径平移）将含有虚数位移的积分化归为标准的高斯积分。在此基础上，问1(c)通过具体函数验证了帕塞瓦尔定理（Parseval’s theorem/Plancherel theorem），即函数在时域与频域的能量积分是相等的。

问2则将结论推广至任意平方可积函数，并最终推导出不确定性关系。问2(a)利用狄拉克δ函数的积分表示法，严格证明了傅里叶变换的等距性（即总概率守恒为1）。问2(b)利用分部积分法求出导函数的傅里叶变换，并将结果结合(a)的结论，建立起实空间中波函数梯度的平方积分与动量空间（频域）中 $k^2$ 期望值的正比关系。问2(c)是纯粹的算子代数与不等式放缩。利用题目给定的柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，将位置的方差积分与动量的方差积分相乘，并通过展开全微分式提取出复数积分的实部。结合题目给定的对易关系期望值式(4)，最终确立了位置与波矢（对应动量）的标准差乘积下界，此即量子力学中著名的 $\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$ 的数学本质。