を3次元実ベクトルとする．また2次元ベクトル が， を用いて と表現できるものとする．ここで行列 は次式で定義されている．
以下の問に答えよ．
(問1) のとき， の値を求めよ．
(問2) 任意の に対して を満たす行列 を求めよ．また，その行列 の固有値と固有ベクトルを求めよ．
(問3) 任意の に対して を満たす行列 は存在しないことを証明せよ．
(問4) (問2)で求めた行列 に対して とし， とする．
(a) のとき， を求めよ．
(b) のとき， を求めよ．
解答
(問1)
より，
連立方程式を解いて，
(問2)
任意の に対し が成り立つため，。
とおくと，
左側の2列を比較し連立方程式を解くと， が一意に定まり、3列目もこれを満たす。
固有方程式 より，
を解き，
(問3)
任意の に対し 。
とおく。
1行目の要素について：
最初の2式より を得る。これを3番目の式に代入すると となり矛盾が生じる。
したがって、等式を満たす行列 は存在しない。 (証明終)
(問4)
を対角化する。 とおくと，。
(a) のとき，
となる。 より，
(b) のとき，
両辺を で割る。
であり， なので，
问1 (解方程组): 给定 矩阵和具体的 向量，将其转换为 4 个方程、3 个未知数的超定线性方程组。任取其中 3 个方程解出 ，再代入第 4 个方程验证是否一致即可。
问2 (矩阵方程与特征值): 条件等价于寻找矩阵 使得 。设 为 待定矩阵，通过比较矩阵乘积的前两列即可算出 的各个元素，然后再用 的第三列进行验证发现完全吻合。求特征值和特征向量为常规操作，求解 即可。
问3 (反证法): 同理，条件等价于寻找 使得 。设未知矩阵 后列出方程，发现在 与 相乘的第一行所对应的三个方程（三个点需共线）内部就存在矛盾，因此这种矩阵映射无法实现。
问4 (对角化求矩阵高次幂与极限):
利用问2中求得的特征向量构造可逆矩阵 ，将 对角化为 。
通项公式 。将 代入即可得到 的显式表达，其中含有 和 两种指数增长项。
在 (a) 的条件下，系数 ，占据主导的 项被消去，只剩下趋于 0 的 项。
在 (b) 的条件下，系数非零， 作为最高阶无穷大主导了极限走向，上下同除 （即提取主部）后，含有 的项在极限过程趋于 0，最后结果直接表现为 前面系数的商。