0155-2011 东新复 数学 P8

概率统计 概率论 泊松过程 指数分布 伽马分布

ある道路における自動車の交通において，測定を開始してから最初に自動車が通過するまでの経過時間を $u$(秒)とする．その $u$ の確率密度関数 $p(u)$ は，測定開始時刻やそれ以前の自動車の通過状況に依存せず，$e^{-\lambda u}$ に比例しているものとする．ただし，$e$ は自然対数の底であり，$\lambda >0$ は実定数である．このとき，以下の問に答えよ．

(問1) $u$ の確率密度関数 $p(u)$ および $u$ の期待値 $\overline{u}$ を求めよ．

(問2) 測定を開始してから $t$ 秒間に通過した自動車の台数を $A(t)$ で表す．このとき，任意の $t>0$ に対して，事象「$A(t)=0$」の生起確率 $\mathrm{Pr}\{A(t)=0\}$ を求めよ．

(問3) 測定を開始してから $n$ 台目の自動車が通過するまでの経過時間を $x$(秒)とし，$x$ の確率密度関数を $p_n(x)$ とする．
(1) このとき，$p_2(x)$, $p_3(x)$ を求めよ．
(2) 任意の整数 $n\ge 1$ に対して，$p_n(x)$ を求めよ．

(問4) 任意の $t>0$ に対して，事象「$A(t)=n$」の生起確率 $\mathrm{Pr}\{A(t)=n\}$ を求めよ．

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解答：

(問1)
$p(u)=c{e}^{-\lambda u}(u\ge 0)$ とおく．確率密度関数の性質より，

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }c{e}^{-\lambda u}\mathrm{d}u& =1\\ ⟹c{\left[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda u}\right]}_0^{\infty }& =\frac{c}{\lambda }=1\\ ⟹c& =\lambda \end{array}$$

したがって，

$$\boxed{p(u)=\lambda e^{-\lambda u}(u\ge 0)}$$

期待値 $\overline{u}$ は，部分積分を用いて，

$$\begin{array}{rl}\overline{u}& ={\int }_0^{\infty }u\lambda e^{-\lambda u}\mathrm{d}u\\ & ={\left[-u{e}^{-\lambda u}\right]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda u}\mathrm{d}u\\ & =0+{\left[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda u}\right]}_0^{\infty }\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$ $$\boxed{\overline{u}=\frac{1}{\lambda }}$$

(問2)
$A(t)=0$ となる事象は，最初の自動車が通過するまでの時間 $u$ が $t$ より大きいことと同値である．

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}\{A(t)=0\}& =\mathrm{Pr}\{u>t\}\\ & ={\int }_t^{\infty }\lambda e^{-\lambda u}\mathrm{d}u\\ & ={\left[-e^{-\lambda u}\right]}_t^{\infty }\\ & =e^{-\lambda t}\end{array}$$ $$\boxed{\mathrm{Pr}\{A(t)=0\}=e^{-\lambda t}}$$

(問3)
(1) 各自動車の通過間隔は互いに独立で，同一の確率密度関数 $p(u)$ に従う．$p_1(x)=p(x)$ である．
$p_2(x)$ は $p_1(x)$ と $p(x)$ の畳み込み積分により求められる．

$$\begin{array}{rl}{p}_2(x)& ={\int }_0^x{p}_1(\tau )p(x-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_0^x\lambda e^{-\lambda \tau }\lambda e^{-\lambda (x-\tau )}\mathrm{d}\tau \\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda x}{\int }_0^x\mathrm{d}\tau \\ & ={\lambda }^{2}x{e}^{-\lambda x}\end{array}$$ $$\boxed{p_2(x)={\lambda }^{2}x{e}^{-\lambda x}(x\ge 0)}$$

同様に，$p_3(x)$ は $p_2(x)$ と $p(x)$ の畳み込み積分により求められる．

$$\begin{array}{rl}{p}_3(x)& ={\int }_0^x{p}_2(\tau )p(x-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_0^x{\lambda }^2\tau e^{-\lambda \tau }\lambda e^{-\lambda (x-\tau )}\mathrm{d}\tau \\ & ={\lambda }^3{e}^{-\lambda x}{\int }_0^x\tau \mathrm{d}\tau \\ & =\frac{{\lambda }^3{x}^2}{2}{e}^{-\lambda x}\end{array}$$ $$\boxed{p_3(x)=\frac{{\lambda }^3{x}^2}{2}{e}^{-\lambda x}(x\ge 0)}$$

(2)
(1) の結果より，一般の $n\ge 1$ に対して次のように推測できる．

$$\boxed{p_n(x)=\frac{{\lambda }^n{x}^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-\lambda x}(x\ge 0)}$$

(問4)
事象 $A(t)=n$ は，第 $n$ 台目の自動車が時刻 $\tau (\le t)$ で通過し，かつその後の時間 $t-\tau$ の間に1台も自動車が通過しない事象として表される．
全確率の定理より，これを $\tau$ について $0$ から $t$ まで積分すればよい．

$$\mathrm{Pr}\{A(t)=n\}={\int }_0^t{p}_n(\tau )\mathrm{Pr}\{A(t-\tau )=0\}\mathrm{d}\tau$$

ここで，(問2) の結果より $\mathrm{Pr}\{A(t-\tau )=0\}=e^{-\lambda (t-\tau )}$ であるため，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}\{A(t)=n\}& ={\int }_0^t\frac{{\lambda }^n{\tau }^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-\lambda \tau }{e}^{-\lambda (t-\tau )}\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda t}}{(n-1)!}{\int }_0^t{\tau }^{n-1}\mathrm{d}\tau \end{array}$$

積分を計算すると，

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^t{\tau }^{n-1}\mathrm{d}\tau & ={\left[\frac{{\tau }^n}{n}\right]}_0^t\\ & =\frac{t^n}{n}\end{array}$$

これらを代入して整理する．

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}\{A(t)=n\}& =\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda t}}{(n-1)!}\cdot \frac{t^n}{n}\\ & =\frac{(\lambda t{)}^n}{n!}{e}^{-\lambda t}\end{array}$$ $$\boxed{\mathrm{Pr}\{A(t)=n\}=\frac{(\lambda t{)}^n}{n!}{e}^{-\lambda t}}$$

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这是一道非常经典的概率论与随机过程题目，整体描述了一个齐次泊松过程。题目开头提到的“不依赖于测量开始时刻及之前的通过状况”实际上指明了等待时间具有无记忆性，而指数分布是唯一具有无记忆性的连续概率分布，因此推导出间隔时间服从指数分布。当考察多辆汽车通过的总时间时，这相当于多个独立同分布的指数随机变量相加，其和的分布在概率论中被称为爱尔朗分布或伽马分布。这也是第三问中通过反复进行卷积积分所得到的结论。到了最后一问，需要求解在固定时间段内通过汽车数量的概率分布，解法巧妙地利用了条件概率的积分，将第n辆汽车到达的具体时间分布与剩余时间内没有汽车到达的概率结合起来。最终得出的结果正是泊松分布的概率质量函数，这完整地展示了指数到达时间、爱尔朗等待时间和泊松计数过程之间深刻的内在数学联系。