0153-2011 东新复 数学 P6

线性代数 矩阵对角化 约当标准型 矩阵的极限

次のように各要素が実数値である行列 $\mathbf{A}$ を考える．

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& b& b\\ 1-a& a& a-1\\ 0& b& b+1\end{array}\right)$$

このとき，以下の問に答えよ．
(問1) ある正則行列 $\mathbf{P}$ に対し，${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ が対角行列となるとき，$\mathbf{A}$ は対角化可能という．
(1) 行列 $\mathbf{A}$ の固有値を求めよ．
(2) $a=4,b=2$ のとき，行列 $\mathbf{A}$ が対角化可能かどうかを判定せよ．
(3) $a=3,b=2$ のとき，行列 $\mathbf{A}$ が対角化可能かどうかを判定せよ．
(問2) $\mathbf{A}$ が対角化できないとき，$a,b$ の存在範囲を $(a,b)$ 座標系に図示せよ．
(問3) $\mathbf{A}$ が対角化できないとき，ある正則行列 $\mathbf{Q}$ を用いて

$${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{D}+\mathbf{U}$$

と変換することができる．ただし，$\mathbf{D}$ は対角行列であり，また，

$$\mathbf{U}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

であるとする．
(1) $\mathbf{Q}$ と $\mathbf{D}$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ．
(2) $(\mathbf{D}+\mathbf{U}{)}^n$ を求めよ．ただし，$n$ は正の整数であるとする．
(問4) $\mathbf{A}$ が対角化できないとき，${\mathbf{A}}^n$ が収束するための $a$ に関する条件を求めよ．
ただし，${\mathbf{A}}^n$ が収束するとは，行列 ${\mathbf{A}}^n$ の $(i,j)$ 成分を $({\mathbf{A}}^n{)}_{ij}$ としたとき，すべての $i,j$ に対して $n$ に関する数列 $({\mathbf{A}}^n{)}_{ij}$ が収束する，つまり $\underset{n\to \infty }{\lim }({\mathbf{A}}^n{)}_{ij}$ が有限の値となることをさす．

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解答：

(問1)

(1) 固有方程式 $|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}|=0$ を解く。

$$\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & b& b\\ 1-a& a-\lambda & a-1\\ 0& b& b+1-\lambda \end{array}\right|=0$$

3列目から2列目を引くと、

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & b& 0\\ 1-a& a-\lambda & \lambda -1\\ 0& b& 1-\lambda \end{array}\right|& =(1-\lambda )\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & b& 0\\ 1-a& a-\lambda & -1\\ 0& b& 1\end{array}\right|\\ & =0\end{array}$$

2行目に3行目を足すと、

$$\begin{array}{rl}(1-\lambda )\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & b& 0\\ 1-a& a+b-\lambda & 0\\ 0& b& 1\end{array}\right|& =(1-\lambda )\{(1-\lambda )(a+b-\lambda )-b(1-a)\}\\ & =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}(1-\lambda )\{{\lambda }^2-(a+b+1)\lambda +a(b+1)\}& =(1-\lambda )(\lambda -a)(\lambda -(b+1))\\ & =0\end{array}$$

よって、固有値は $\lambda =1,a,b+1$

$$\boxed{\lambda =1,a,b+1}$$

(2) $a=4,b=2$ のとき、固有値は $\lambda =1,4,3$。
3つの固有値がすべて相異なる実数であるため、行列 $\mathbf{A}$ は対角化可能である。

$$\boxed{\text{対角化可能である}}$$

(3) $a=3,b=2$ のとき、固有値は $\lambda =1,3,3$。
$\lambda =3$ の代数的多重度は2である。$\lambda =3$ に対する固有空間の次元を調べる。

$$\mathbf{A}-3\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 2\\ -2& 0& 2\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$$

この行列のランクは2であるため、固有空間の次元は $3-2=1$ となる。
次元(1)が代数的多重度(2)と一致しないため、対角化不可能である。

$$\boxed{\text{対角化可能ではない}}$$

(問2)
行列 $\mathbf{A}$ が対角化できない条件は、固有値が重解をもち、かつその固有空間の次元が代数的多重度未満になることである。
重解をもつ可能性があるのは以下の3つの場合である。
(i) $a=1$ のとき（固有値 $1,1,b+1$）

$$\mathbf{A}-\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}0& b& b\\ 0& 0& 0\\ 0& b& b\end{array}\right)$$

$b\ne 0$ならランク1で次元2(多重度と一致)。$b=0$ならランク0で次元3。よって常に対角化可能。
(ii) $b+1=1⟹b=0$ のとき（固有値 $1,a,1$）

$$\mathbf{A}-\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1-a& a-1& a-1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$a\ne 1$ならランク1で次元2(多重度と一致)。よって対角化可能。
(iii) $a=b+1$ のとき（固有値 $1,a,a$）

$$\mathbf{A}-a\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}1-a& a-1& a-1\\ 1-a& 0& a-1\\ 0& a-1& 0\end{array}\right)$$

$a\ne 1$ のとき、1列目と2列目は線形独立でありランクは2。固有空間の次元は $3-2=1$ となり多重度(2)より小さいため、対角化不可能である。
以上より、対角化できない条件は $b=a-1$ かつ $a\ne 1$。

$$\boxed{\text{(a,b) 平面上の直線 }b=a-1\text{。ただし、点 }(1,0)\text{ を除く。}}$$

(問3)
(1) 条件より $b=a-1(a\ne 1)$ であり、固有値は $1,a,a$。
$\mathbf{U}$ の形から、$\mathbf{D}$ の $(2,2),(3,3)$ 成分は重解 $a$ となる。

$$\mathbf{D}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)$$

$\mathbf{Q}=({\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2,{\mathbf{q}}_3)$ とおくと、$\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{D}+\mathbf{U})$ より以下を満たす。
$\mathbf{A}{\mathbf{q}}_1={\mathbf{q}}_1$, $\mathbf{A}{\mathbf{q}}_2=a{\mathbf{q}}_2$, $\mathbf{A}{\mathbf{q}}_3={\mathbf{q}}_2+a{\mathbf{q}}_3$
$(\mathbf{A}-\mathbf{I}){\mathbf{q}}_1=0$ より ${\mathbf{q}}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$。
$(\mathbf{A}-a\mathbf{I}){\mathbf{q}}_2=0$ より ${\mathbf{q}}_2=\left(\begin{array}{c}a-1\\ 0\\ a-1\end{array}\right)$ を選ぶ。
$(\mathbf{A}-a\mathbf{I}){\mathbf{q}}_3={\mathbf{q}}_2$ より $\left(\begin{array}{ccc}1-a& a-1& a-1\\ 1-a& 0& a-1\\ 0& a-1& 0\end{array}\right){\mathbf{q}}_3=\left(\begin{array}{c}a-1\\ 0\\ a-1\end{array}\right)$。これを解いて ${\mathbf{q}}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$。

$$\boxed{\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}0& a-1& 0\\ 1& 0& 1\\ -1& a-1& 0\end{array}\right),\mathbf{D}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)}$$

(注: $\mathbf{Q}$ は一意ではない)

(2)

$$\mathbf{D}+\mathbf{U}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right)$$

この行列はブロック対角行列であり、右下はジョルダン細胞であるから、

$$\boxed{(\mathbf{D}+\mathbf{U}{)}^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a^n& n{a}^{n-1}\\ 0& 0& a^n\end{array}\right)}$$

(問4)
${\mathbf{A}}^n=\mathbf{Q}(\mathbf{D}+\mathbf{U}{)}^n{\mathbf{Q}}^{-1}$ である。$\mathbf{Q}$ は $n$ に依存しない正則行列であるため、${\mathbf{A}}^n$ が収束する条件は $(\mathbf{D}+\mathbf{U}{)}^n$ の各成分が収束することである。
$(\mathbf{D}+\mathbf{U}{)}^n$ の成分のうち $a^n$ が収束する条件は $-1<a\le 1$。
$n{a}^{n-1}$ が収束する条件は $-1<a<1$。
(問2) の対角化できない条件 $a\ne 1$ を考慮すると、求める条件は以下の通り。

$$\boxed{-1<a<1}$$

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本题是一道非常经典的线性代数综合题，主要考察了矩阵的特征值计算、对角化判定条件、约当标准型（Jordan Canonical Form）的求解以及矩阵幂的极限。

在计算含参矩阵的特征值时，直接展开行列式往往会得到复杂的高次多项式。观察矩阵的行或列之间的关系（如在此题中，第三列减去第二列可以提取出公因式 $1-\lambda$ ），通过行列式初等变换进行降阶，是求解特征值最稳妥有效的方法。

矩阵对角化的核心判断准则在于：当且仅当矩阵的每个特征值的代数重数（在特征方程中作为根的次数）等于其几何重数（对应特征空间 $N(A-\lambda I)$ 的维度，即 $n-\text{rank}(A-\lambda I)$）时，矩阵可对角化。对于无重根的情况，矩阵必然可对角化；而对于有重根的情况，必须单独代入检验其秩。

当矩阵不可对角化时，可以通过相似变换将其化为约当标准型。题目问3中显式给出了约当块矩阵 $\mathbf{U}$，这意味着我们需要寻找广义特征向量。关系式 $\mathbf{A}{\mathbf{q}}_3={\mathbf{q}}_2+a{\mathbf{q}}_3$ 变形后即为 $(\mathbf{A}-a\mathbf{I}){\mathbf{q}}_3={\mathbf{q}}_2$，这正是求解广义特征向量的标准方程。在选取 ${\mathbf{q}}_2$ 时，可以适当乘上一个常数因子（如解答中的 $a-1$ ），以避免后续求解 ${\mathbf{q}}_3$ 时出现繁琐的分数。

最后，计算矩阵的极限等价于考察其约当标准型的极限。由于约当块次对角线上的元素在 $n$ 次幂后会变为 $n{a}^{n-1}$ ，根据微积分中数列极限的知识，多项式增长的速度慢于指数衰减的速度，因此只有当底数 $|a|<1$ 时，该项才会收敛到 0。这也就排除了 $a=1$ 这种虽然 $a^n$ 收敛但 $n{a}^{n-1}$ 发散的情况。