0152-2011 东新复 数学 P5

微分积分 高等数学 多重积分 概率统计

関数 $f(x,y)$ を

$$f(x,y)=\exp \left(-\frac{x^2+y^2-2Rxy}{2(1-R^2)}\right),$$

で定義する．ここで $\exp (t)=e^t$ であり，$e$ は自然対数の底である．以下の問に答えよ．

(問1) $R=0$ とする．
(1) $x=r\cos \theta$ および $y=r\sin \theta ,(0\le r<\infty ,0\le \theta <2\pi )$ と変数変換する．その際のヤコビアンを求めよ．
(2) (1) の変数変換を用いて，定積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ を求めよ．
(3) (2) で求めた定積分を用いて，以下の式を示せ．ただし $a>0$ とする．

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (-a{x}^2)\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$$

(問2) $-1<R<1$ とし，$g(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$ とする．
(1) $g(x)$ を求めよ．また任意に与えられた $x_0$ に対して ${\int }_{-\infty }^{\infty }xg(x-x_0)\mathrm{d}x$ を求めよ．
(2) ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{2}g(x)\mathrm{d}x$ および ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{4}g(x)\mathrm{d}x$ を求めよ．
【注意】必要であれば (問1) の (3) の結果を用いて良い．

(問3) $-1<R<1$ とする．$f(x,y)$ に関する以下の定積分を求めよ．

$${\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }yf(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

【注意】必要であれば (問1) の (3) の結果を用いて良い．

---

解答：

(問1)
(1) ヤコビアン $J$ は

$$\begin{array}{rl}J& =\det \left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right)\\ & =\det \left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)\\ & =r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta \\ & =r\end{array}$$ $$\boxed{r}$$

(2) $R=0$ より $f(x,y)=\exp \left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right)$ である。極座標変換を用いると、

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2/2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$ $$\begin{array}{rl}& =\left({\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta \right){\left[-e^{-r^2/2}\right]}_0^{\infty }\\ & =2\pi \cdot (0-(-1))\\ & =2\pi \end{array}$$ $$\boxed{2\pi }$$

(3) $I={\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (-a{x}^2)\mathrm{d}x$ とおく（$a>0$ より $I>0$）。

$$I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (-a(x^2+y^2))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

極座標変換を用いると、

$$\begin{array}{rl}{I}^2& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }\exp (-a{r}^2)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & =2\pi {\left[-\frac{1}{2a}{e}^{-a{r}^2}\right]}_0^{\infty }\\ & =\frac{\pi }{a}\end{array}$$

$I>0$ であるから、

$$I=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$$

(証明終)

(問2)
(1) $f(x,y)$ は以下のように平方完成できる。

$$f(x,y)=\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)\exp \left(-\frac{(y-Rx{)}^2}{2(1-R^2)}\right)$$

$u=y-Rx$ とおくと $\mathrm{d}y=\mathrm{d}u$ であり、

$$g(x)=\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right){\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\frac{u^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}u$$

(問1)(3) の結果にて $a=\frac{1}{2(1-R^2)}$ とすると、

$$\boxed{g(x)=\sqrt{2\pi (1-R^2)}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)}$$

次に $I_1={\int }_{-\infty }^{\infty }xg(x-x_0)\mathrm{d}x$ を求める。$v=x-x_0$ とおくと $\mathrm{d}x=\mathrm{d}v$ であり、

$$I_1=\sqrt{2\pi (1-R^2)}{\int }_{-\infty }^{\infty }(v+x_0)e^{-v^2/2}\mathrm{d}v$$

奇関数の積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }v{e}^{-v^2/2}\mathrm{d}v=0$ および (問1)(3) の結果より、

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =\sqrt{2\pi (1-R^2)}\cdot x_0{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-v^2/2}\mathrm{d}v\\ & =\sqrt{2\pi (1-R^2)}\cdot x_0\sqrt{2\pi }\\ & =2\pi (1-R^2)x_0\end{array}$$ $$\boxed{2\pi (1-R^2)x_0}$$

(2) (問1)(3) の結果 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }{a}^{-1/2}$ の両辺をパラメータ $a$ について微分すると、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }(-x^2)e^{-a{x}^2}\mathrm{d}x& =-\frac{\sqrt{\pi }}{2}{a}^{-3/2}\\ ⟹{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}{a}^{-3/2}\end{array}$$

さらに両辺を $a$ で微分すると、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }(-x^2)x^2{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x& =-\frac{3\sqrt{\pi }}{4}{a}^{-5/2}\\ ⟹{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^4{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x& =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}{a}^{-5/2}\end{array}$$

$a=1/2$ を代入し、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x& =\sqrt{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^4{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x\\ & =3\sqrt{2\pi }\end{array}$$

ゆえに、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{2}g(x)\mathrm{d}x& =\sqrt{2\pi (1-R^2)}\cdot \sqrt{2\pi }\\ & =2\pi (1-R^2)\end{array}$$ $$\boxed{2\pi (1-R^2)}$$ $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{4}g(x)\mathrm{d}x& =\sqrt{2\pi (1-R^2)}\cdot 3\sqrt{2\pi }\\ & =6\pi (1-R^2)\end{array}$$ $$\boxed{6\pi (1-R^2)}$$

(問3)
求める積分を $K$ とおく。

$$K={\int }_0^{\infty }\left\{{\int }_0^{\infty }y\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)\exp \left(-\frac{(y-Rx{)}^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}y\right\}\mathrm{d}x$$

$t=y-Rx$ とおくと、内側の積分は

$${\int }_0^{\infty }y\exp \left(-\frac{(y-Rx{)}^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}y={\int }_{-Rx}^{\infty }(t+Rx)\exp \left(-\frac{t^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}t$$ $$={\left[-(1-R^2)\exp \left(-\frac{t^2}{2(1-R^2)}\right)\right]}_{-Rx}^{\infty }+Rx{\int }_{-Rx}^{\infty }\exp \left(-\frac{t^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}t$$ $$=(1-R^2)\exp \left(-\frac{R^2{x}^2}{2(1-R^2)}\right)+Rx{\int }_{-Rx}^{\infty }\exp \left(-\frac{t^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}t$$

これを $K$ に代入して2つの項に分ける。第1項の積分 $K_1$ は、

$$\begin{array}{rl}{K}_1& =(1-R^2){\int }_0^{\infty }\exp \left(-\frac{x^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1-R^2}{2}\sqrt{2\pi (1-R^2)}\end{array}$$

第2項の積分 $K_2$ について部分積分を用いると、

$$K_2=R{\int }_0^{\infty }x{e}^{-x^2/2}\left({\int }_{-Rx}^{\infty }\exp \left(-\frac{t^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x$$ $$=R{\left[-e^{-x^2/2}{\int }_{-Rx}^{\infty }\exp \left(-\frac{t^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}t\right]}_0^{\infty }-R{\int }_0^{\infty }(-e^{-x^2/2})\cdot R\exp \left(-\frac{R^2{x}^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}x$$ $$=R\left(0-(-1){\int }_0^{\infty }\exp \left(-\frac{t^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}t\right)+R^2{\int }_0^{\infty }\exp \left(-\frac{x^2}{2(1-R^2)}\right)\mathrm{d}x$$ $$\begin{array}{rl}& =\frac{R}{2}\sqrt{2\pi (1-R^2)}+\frac{R^2}{2}\sqrt{2\pi (1-R^2)}\\ & =\frac{R(1+R)}{2}\sqrt{2\pi (1-R^2)}\end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rl}K& =K_1+K_2\\ & =\left(\frac{1-R^2}{2}+\frac{R+R^2}{2}\right)\sqrt{2\pi (1-R^2)}\\ & =\frac{1+R}{2}\sqrt{2\pi (1-R^2)}\end{array}$$ $$\boxed{(1+R)\sqrt{\frac{\pi (1-R^2)}{2}}}$$

---

这道题目的核心背景是概率论中的二维正态分布（Bivariate Normal Distribution）。题干给出的函数实际上是一个未经过归一化的相关系数为 $R$、标准差均为 $1$ 的二维正态分布密度函数的核心部分。

在第一问中，主要考察了通过极坐标变换求解高斯积分的基础方法，这也是多元微积分中非常经典的内容。第二问通过关于 $y$ 的积分求出了边际分布函数 $g(x)$，本质上是在求解随机变量的边缘概率密度，随后计算了平移后的期望以及二阶和四阶矩。这里使用含参变量积分求导（即费曼积分法）来求高阶矩是非常高效且不易出错的技巧，能有效避开繁琐的多次分部积分。

第三问是整道题的难点，要求在第一象限内计算带有交叉项的二维高斯积分。由于积分区域的限制以及 $y$ 作为被积函数的权重，通常的极坐标或简单的线性旋转变换在处理边界时会变得非常复杂。解答中采取了先对 $y$ 进行配方并积分，再利用分部积分法处理留下的累积分布函数（误差函数形式）的思路，巧妙地使得边界项相互抵消，最终化简得出了一个相对简洁的闭式解。