0151-2023 関西工 机械 P237

振动学 机械振动 多自由度系统

図２に２自由度振動系のモデルを示す．左側の振り子は質量 $m_1$ の質点と，質量の無視できる長さ $l_1$ の剛体棒からなる単振り子であり，右側の振り子は質量 $m_2$ ，長さ $l_2$ の細く，一様な剛体棒の振り子である．二つの振り子は水平な天井から距離 $h$ の位置でばね定数 $k$ のばねで接続されている．なお，ばねの自然長は二つの振り子の回転中心間の距離と等しい．重力加速度を $g$ ，左右の振り子のつり合いの位置からの左回りの角変位をそれぞれ ${\theta }_1$ ， ${\theta }_2$ ，時刻を $t$ とする．角変位 ${\theta }_1$ ， ${\theta }_2$ は十分に小さく， $\sin {\theta }_1\approx {\theta }_1$ ， $\sin {\theta }_2\approx {\theta }_2$ が成立し，高次の微小量は無視できるものとして，以下の設問に答えよ．
(1) まず，二つの振り子を接続しているばねを取り外した場合を考える．単振り子と剛体棒の振り子の回転中心まわりの慣性モーメント $I_1$ ， $I_2$ を求めよ．
(2) ばねが無い場合の単振り子の運動方程式と固有角振動数 ${\Omega }_1$ を求めよ．
(3) ばねが無い場合の剛体棒の振り子の運動方程式と固有角振動数 ${\Omega }_2$ を求めよ．
(4) 以降はばねが設置されている場合を考える．この場合の運動方程式を求めよ．
(5) $m_1=3\text{ [kg]}$ ， $m_2=4\text{ [kg]}$ ， $l_1=2\text{ [m]}$ ， $l_2=3\text{ [m]}$ ， $h=1\text{ [m]}$ ， $g=10{\text{ [m/s}}^2\text{]}$ ， $k=30\text{ [N/m]}$ とする．この場合の一次モードと二次モードの固有角振動数 ${\omega }_1$ ， ${\omega }_2$ を求めよ．

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解答：

(1)
回転中心まわりの慣性モーメントはそれぞれ以下のようになる：

$$I_1=\boxed{m_1{l}_1^2}$$ $$I_2=\boxed{\frac{1}{3}{m}_2{l}_2^2}$$

(2)
単振り子のつり合い位置からの微小回転における運動方程式は：

$$\begin{array}{rl}{I}_1{\ddot{\theta }}_1& =-m_{1}g{l}_1\sin {\theta }_1\\ & \approx -m_{1}g{l}_1{\theta }_1\end{array}$$ $$\boxed{m_1{l}_1^2{\ddot{\theta }}_1+m_{1}g{l}_1{\theta }_1=0}$$

固有角振動数 ${\Omega }_1$ は：

$${\Omega }_1=\boxed{\sqrt{\frac{g}{l_1}}}$$

(3)
剛体棒の振り子のつり合い位置からの微小回転における運動方程式は（重心位置が $l_2/2$ にあることに注意する）：

$$\begin{array}{rl}{I}_2{\ddot{\theta }}_2& =-m_{2}g\frac{l_2}{2}\sin {\theta }_2\\ & \approx -m_{2}g\frac{l_2}{2}{\theta }_2\end{array}$$ $$\boxed{\frac{1}{3}{m}_2{l}_2^2{\ddot{\theta }}_2+\frac{1}{2}{m}_{2}g{l}_2{\theta }_2=0}$$

固有角振動数 ${\Omega }_2$ は：

$${\Omega }_2=\boxed{\sqrt{\frac{3g}{2l_2}}}$$

(4)
ばねの変形による水平方向の伸びは $h{\theta }_2-h{\theta }_1$ と近似できる．それぞれに働くばねの復元力によるモーメントを考慮すると、運動方程式は以下のようになる：

$$I_1{\ddot{\theta }}_1=-m_{1}g{l}_1{\theta }_1+k(h{\theta }_2-h{\theta }_1)h$$ $$I_2{\ddot{\theta }}_2=-m_{2}g\frac{l_2}{2}{\theta }_2-k(h{\theta }_2-h{\theta }_1)h$$

整理して、

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{m}_1{l}_1^2{\ddot{\theta }}_1+(m_{1}g{l}_1+k{h}^2){\theta }_1-k{h}^2{\theta }_2=0\\ \frac{1}{3}{m}_2{l}_2^2{\ddot{\theta }}_2-k{h}^2{\theta }_1+\left(\frac{1}{2}{m}_{2}g{l}_2+k{h}^2\right){\theta }_2=0\end{array}}$$

(5)
与えられた数値を各パラメータに代入する：

$$I_1=3\times 2^2=12$$ $$I_2=\frac{1}{3}\times 4\times 3^2=12$$ $$m_{1}g{l}_1=3\times 10\times 2=60$$ $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{m}_{2}g{l}_2& =\frac{1}{2}\times 4\times 10\times 3\\ & =60\end{array}$$ $$k{h}^2=30\times 1^2=30$$

これらを(4)で求めた運動方程式に代入すると、

$$12{\ddot{\theta }}_1+90{\theta }_1-30{\theta }_2=0$$ $$12{\ddot{\theta }}_2-30{\theta }_1+90{\theta }_2=0$$

調和振動の解を ${\theta }_1={\Theta }_1{e}^{i\omega t}$, ${\theta }_2={\Theta }_2{e}^{i\omega t}$ と仮定して代入すると、

$$(-12{\omega }^2+90){\Theta }_1-30{\Theta }_2=0$$ $$-30{\Theta }_1+(-12{\omega }^2+90){\Theta }_2=0$$

自明でない解をもつための条件（特性方程式）より：

$$\left|\begin{array}{cc}90-12{\omega }^2& -30\\ -30& 90-12{\omega }^2\end{array}\right|=0$$ $$(90-12{\omega }^2{)}^2-30^2=0$$ $$90-12{\omega }^2=\pm 30$$

$12{\omega }^2=60$ のとき ${\omega }^2=5$ となり、${\omega }_1=\sqrt{5}$
$12{\omega }^2=120$ のとき ${\omega }^2=10$ となり、${\omega }_2=\sqrt{10}$
したがって、

$$\boxed{{\omega }_1=\sqrt{5}\text{ rad/s},{\omega }_2=\sqrt{10}\text{ rad/s}}$$

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这道题主要考察了二自由度机械振动系统的微小振动建模与固有频率的求解。

前两问是基础的单摆和物理摆模型，解决这里的关键是分别写出离散质点和连续均质杆绕悬挂点转动的转动惯量。需要牢记均匀细杆绕其一端旋转的转动惯量是质量与长度平方乘积的三分之一。
随后建立方程时，利用力矩平衡定理，重力产生的恢复力矩和弹簧形变产生的耦合力矩方向非常关键。在微小偏转的角度假设下，弹簧在水平方向的拉伸或压缩量可以通过两摆在弹簧连接处高度的水平位移差直接近似计算得出。
在最后一问中，将给定数据代入前面导出的微分方程组，写出对应的系统质量矩阵和刚度矩阵。设定稳态的简谐振动解并代入后，令特征矩阵的行列式等于零，解这个关于频率平方的特征方程就能顺利求出系统的两阶固有角频率。题目的数据经过了很精心的设计，最终化简出来的特征方程可以直接通过开方求解，计算过程非常清晰。